第二章 一元二次函数、方程和不等式（9大知识归纳+10大题型突破）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 （知识归纳+题型突破） 1.了解并掌握等式及不等式性质，或熟练运用性质判断或证明不等式大小关系，会表示不等关系． 2.掌握基本不等式的基本公式，会熟练运用基本不等式求最值及其应用． 3.掌握一元二次不等式的相关计算及其应用． 1. 等式的性质 性质1 如果，那么 性质2 如果，，那么 性质3 如果，那么 性质4 如果，那么 性质5 如果，，那么 2. 作差法比较大小关系 ，， 3. 不等式的性质 性质1 对称性 性质2 传递性 性质3 可加性 性质4 可乘性 性质5 同向可加性 性质6 同向同正可乘性 性质7可乘方性 性质8可开方性 若a＞b＞0，m＞0，则＜；＞，(b－m＞0)；＞；＜，(b－m＞0)．　 4. 基本不等式 ，当且仅当时取等号 其中叫做正数，的算术平均数， 叫做正数，的几何平均数 通常表达为：（积定和最小） 应用条件：“一正，二定，三相等” 基本不等式的推论1 基本不等式的推论2 （和定积最大） 当且仅当时取等号 当且仅当时取等号 5. 二次函数的图象与性质 函数图象 开口方向 向上 向下 对称轴方程 最值 6. 一元二次方程求根公式及韦达定理 一元二次方程求根公式 的根为： 韦达定理（根与系数的关系） 的两根为，；则 7. 解一元二次不等式 “三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系 判别式 一元二次方程 的根 有两个不等实根 ，（设） 有两个相等实根 无实数根 二次函数 的图象 的解集 的解集 ∅ ∅ ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＞0且b2－4ac＜0(x∈R)． ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＜0且b2－4ac＜0(x∈R)． 8. 解分式不等式 ① ② ③ ④ 9. 解单绝对值不等式 或， 题型一 用不等式或不等式组表示不等关系及用不等式的性质求取值范围 【例1】（1）（2023秋·甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 （2）（2023春·广东揭阳·高一统考期末）已知，且，则的取值范围是 ． 巩固训练： 1．（2022·全国·高一专题练习）某学生月考数学成绩 x不低于100分，英语成绩 y 和语文成绩 z 的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高一假期作业）已知，，则的取值范围是 ． 题型二　比较代数式大小及不等式证明 【例2】（1）（2023春·云南玉溪·高一统考期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 （2）（2023秋·陕西西安·高一统考期末）设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． （3）（2023·高一课时练习）阅读材料： （1）若，且，则有 （2）若，则有． 请依据以上材料解答问题： 已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 巩固训练 1．（2023秋·湖南娄底·高一统考期末）已知，则（ ） A． B． C． D．无法确定 2．（2023秋·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2023·高一课时练习）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤； （2）已知c>a>b>0，求证： 题型三　基本不等式之直接求最值 【例3】（1）（2023春·江西宜春·高一江西省丰城拖船中学校考期末）已知，，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．36 （2）（2023秋·江苏淮安·高一淮阴中学校考期末）若都是正数，且，则的最小值是 . 巩固训练 1．（2023秋·甘肃天水·高一统考期末）已知正数，满足，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（2023春·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考期末）已知，则的最小值为 ． 题型四　基本不等式之妙用“1”求最值 【例4】（1）（2023秋·吉林延边·高一统考期末）已知，，且，则的最小值是（    ） A．23 B．26 C．22 D．25 （2）（2023秋·河南安阳·高一统考期末）若，，且，则的最小值为