《常见多面体外接球的有关计算》 学习任务单-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

数学必修第二册 1 / 4 《常见多面体外接球的有关计算》学习任务单 【学习要求】 1.了解球的定义、结构特征及其表面积公式、体积公式，能用公式解决简单的实际问题； 2.了解《九章算术》中鳖臑型、墙角型、阳马型、堑堵型、筝型等特殊几何体的结构特征，探 究它们的共性，了解它们与长方体之间的联系.掌握将一类特殊多面体补形为对应的长方体（或 正方体）的方法，从而解决其外接球问题； 3.感悟化归与转化思想、割补思想，提高运算能力、推理论证能力和空间直观想象能力，发展 直观想象、数学运算、数学抽象等素养. 【课前任务】 1.球的表面积公式和体积公式：______________________________________. 2.外接球：若一个多面体的_______都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面 体，这个球是这个多面体的外接球. 3.长方体外接球的直径等于长方体的________. 长方体外接球的半径R=______________. 【课堂任务】 一、情境引入：介绍《九章算术》 提出问题：据《九章算术》记载，“ bi ē 鳖 n à o 臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥. 如图， PA底面 , ,ABC AB BC 且 2, 1,PA AB BC   则三棱锥 P ABC 外 接球的表面积为________. 思考：哪一种多面体的外接球最容易解决？ 二、合作探究 探究：从长方体(或正方体)的八个顶点中任取不共面的四个顶点，可以构造出什么样的三棱锥? 数学必修第二册 2 / 4 思考并讨论： 1.观察画出的三棱锥，有哪些三棱锥的结构相似？你能根据它们的结构特征进行归类吗？ 2.如何得到这些三棱锥外接球的球心和半径？ 交流展示： 三、应用知识 解决问题：例 1：据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥.已知PA 底面 , ,ABC AB BC 且 2, 1,PA AB BC   则三棱锥 P ABC 外接球的表面积为________. 例 2：已知PA底面 ABC， AB AC 且 2PA ， 1AB AC  ，则三棱锥P ABC 外接球的表 面积为________. 例 3：已知三棱锥 A BCD 中, 2AB CD  ， 5AD BC AC BD    ，则三棱锥外接球的 体积为_______. 例题探究：在边长为 2的正方形 ABCD中， ,E F分别为线段 ,AB BC的中点，连接 , ,DE DF EF， 将 , ADE CDF BEF  , 分别沿 , ,DE DF EF折起，使 , ,A B C三点重合，得到三棱锥 -S DEF，则 该三棱锥外接球的表面积为________. 四、课堂小结 1.你能归纳出这节课的学习内容吗？ 2.你能谈谈这节课的收获和体会吗？ 3.本节课用到了哪些数学思想方法？ 数学必修第二册 3 / 4 五、对标自评 学习目标 优秀 达标 待达标 了解球的定义、结构特征及其表 面积公式、体积公式，能用公式 解决简单的实际问题. 能用多种方法确定 球的半径的大小. 能正确识记球的表面积 及体积公式；能用公式 进行简单计算. 了解《九章算术》中鳖臑型、墙 角型、阳马型、堑堵型、筝型等 特殊几何体的结构特征，探究它 们的共性，了解它们与长方体之 间的联系. 在达标的基础上， 能在长方形中正确 画出各类特殊的多 面体. 给定具体的多面体，能 正确识别其所属类型， 能说出鳖臑型、墙角 型、阳马型、堑堵型等 多面体之间的联系. 掌握将一类特殊多面体补形为对 应的长方体（或正方体）的方 法，从而解决其外接球问题. 能把筝型等特殊的 多面体补形为长方 体. 能把鳖臑型、墙角型、 阳马型、堑堵型等多面 体补形为长方体. 感悟化归与转化思想、割补思 想，提高运算能力、推理论证能 力和空间想象能力，发展直观想 象、数学运算等核心素养. 能全部说出有关的 数学思想、能力和 素养. 能至少说出一个有关的 数学思想. 【课后任务】 1.已知点 , , ,S A B C 是球O表面上的点， SA平面 ABC， AB BC ， 1SA AB  ， 2BC  ， 则球O的表面积等于_______. 2.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积为______. 3.如图，在梯形 ABCD中， / /AB CD， AB AD ， 2AB ， 1AD CD  ，将梯形沿对角线 AC折叠成三棱锥D ABC ，当平面 ACD平面 ABC时，三棱锥外接球的体积为________. 数学必修第二册 4 / 4 课外阅读材料： 《九章算术》是中国古典数学的一部最重要的经典著作，大约成书于东汉初期，作者姓