2023年北京大学中学生数学科学夏令营试题

2023年北京大学中学生数学科学夏令营试题 第一天 1.设奇数，求证：是无理数. 2.对正整数，用表示在十进制的数码和之和，求证：对任意正整数， . 3.如图，在中，是最长边，设的中垂线与直线分别交于点关于此中垂线的对称点为.设的中垂线与直线分别交于点关于此中垂线的对称点为.设交于点，的外接圆与直线交于另一点，的外接圆与直线交于另一点.过作的平行线交直线于点，设是的交点，是外接圆平行于的直径，求证：直线交于一点. 4.将一个方格表的每个黑白染色，满足每个小正方形中均至少有一个黑格，且每个黑格均在小黑色正方形中（四个格都是黑格）中.记为每行中黑格的个数，为每列中黑格的个数，求的最大值. 第二天 5.给定正整数，求所有的数组，使得对任意满足的实数组，都有. 6.是否存在质数和非零整系数多项式,使得对任意正整数，中至少有个正整数使得？ 7.魔术师和小美在的方格表中放入或的骨牌.魔术师先放入一些两两无公共格的骨牌，满足对任意，方格表中每个的正方形至多与个已放入的骨牌有公共格.求证：小美可以再放入骨牌恰覆盖方格表中余下的方格. 8.设简单有向图的顶点是（10行1000列）的格点.的边满足：除最后一列外，每个顶点恰有三条有向边指向下一列的三个不同顶点；除第一列外，每个顶点恰有三条有向边被前一列的三个不同顶点指向；中无其他边，对最后一列的每个顶点赋予一个实数.对其余每个顶点，若从出发的三条边指向的三个不同顶点为，其递归地定义.求证： $$