第04讲 二次函数与一元二次方程、不等式-2023-2024学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第04讲 二次函数与一元二次方程、不等式 【人教A版2019】 ·模块一 一元二次不等式 ·模块二 三个“二次”的关系 ·模块三 课后作业 模块一 一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【考点1 解不含参的一元二次不等式】 【例1.1】（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023·高一课时练习）下列不等式中，解集为的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023春·甘肃陇南·高一统考期末）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1.2】（2022秋·陕西西安·高一校考阶段练习）设，用表示不超过的最大整数，则满足不等式解集是（    ） A． B． C． D． 【考点2 解含参的一元二次不等式】 【例2.1】（2022秋·安徽·高一校联考期中）对于给定实数，不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023秋·高一课时练习）若且的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023春·湖南·高一校联考期中）若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2.2】（2023春·河南·高一校联考阶段练习）已知，且，关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【考点3 由一元二次不等式的解的情况确定参数】 【例3.1】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式的解集为，且：，则a=（　　） A． B． C． D． 【变式3.1】（2023春·陕西渭南·高二统考期末）若不等式组的解集不是空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集中至多包含两个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点4 一元二次不等式恒成立问题】 【例4.1】（2023·江苏·高一专题练习）已知不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【例4.2】（2023·全国·高三专题练习）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式4.1】（2023春·广东河源·高一校考期中）已知函数． (1)若不等式的解集为R，求m的取值范围； (2)解关于x的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 【变式4.2】（2023秋·辽宁本溪·高一校考期末）函数． （1）当时，恒成立，求实数a的取值范围； （2）当时，恒成立，求实数a的取值范围； （3）当时，恒成立，求实数x的取值范围． 【考点5 一元二次不等式有解问题】 【例5.1】（2023春·山西太原·高二校考阶段练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（2023春·宁夏吴忠·高二校考期中）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（2023·全国·高三专题练习）若不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 模块二 三个“二次”的关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴