11.1.2 三角形的高、中线与角平分线-2023-2024学年八年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

八年级数学上分层优化堂堂清 十一章 三角形 11.1与三角形有关的线段 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 学习目标： 1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念. 2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法. 3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法. 老师对你说： 一、三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)； 三角形高线中的一些注意点： （1）三角形的高是线段； （2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 二、三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 如图二，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC. 图一 图二 图三 三角形中线中的一些注意点： （1）三角形的中线是线段； (2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形. 三、三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上. 注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .A B D C 三角形角平分线中的一些注意点： （1）三角形的角平分线是线段； （2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 基础提升 教材核心知识点精练 知识点1：三角形的高 【例1-1】 画中边上的高，下列画法中正确的是(    ) A. B. C. D. 【例1-2】如图，中，，于点，于点，则下列说法中正确的是(    ) A. 是的高 B. 是的高 C. 是的高 D. 是的高 知识点2：三角形的中线 【例2-1】如图，在中，、分别是边上的中线和高，，，则          ． 【例2-2】如图，的周长为，，边上的中线，的周长为，求的长． 知识点3：三角形的角平分线 【例3-1】如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E、F为上的一点，于点H，      （1）的高线是___________； （2）是三角形_________的角平分线． 【例3-2】如图，是的角平分线，点为上一点，交于点，交于点求证：平分． 能力强化提升训练 1.在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，则AC的长为（    ） A．7 B．11 C．7或11 D．8或10 2. 如图，，分别是的高，，，，求的长． 3.如图，A，B，C分别是线段、、的中点，若的面积是70，那么的面积是(　　)      A．10 B．12 C．15 D．20 堂堂清 1、 填空题（每小题4分，共32分） 1.下列图形中，正确画出AC边上的高的是（    ） A． B． C． D． 2.如图，，，分别是的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 3. 在数学实践课上，小亮经研究发现：在如图所示的中，连接点和上的一点，线段等分的面积，则是的(    ) A. 高线 B. 中线 C. 角平分线 D. 对角线 4 .如图，在中，已知点，分别为边，上的中点，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.以下说法正确的有(    ) 三角形的中线、角平分线都是射线 三角形的三条高所在直线相交于一点 三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分 直角三角形的三条