专题突破02 与三角形角有关的几何模型（二）-2023-2024学年八年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

八年级数学上分层优化堂堂清 十一章 三角形 几何模型专题 与三角形角有关的几何模型（二） 模型四　双角平分线模型 1.模型1 三角形两内角平分线的夹角 1. 如图，点P为△ABC的内角平分线BP与CP的交点， 结论：∠BPC＝90°∠A； 模型证明：∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°， ∵BP、CP是角平分线， ∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠BCP， ∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°， ∴∠BPC＝90°∠A； 模型的应用1: 1.如图，BD和CD是△ABC的角平分线，∠BDC＝118°，则∠BAC＝_____°． 2. 如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线． （1）∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由． （2）题（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数． （3）若∠A＝n°，求∠BOC的度数． 练习巩固1 1.如图，已知△ABC，O是△ABC内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2，则∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间的数量关系是（ ） A．∠1+∠0=∠A+∠2 B．∠1+∠2+∠A+∠O=180° C．∠1+∠2+∠A+∠O=360° D．∠1+∠2+∠A=∠O 2.在中， ，若的平分线交于点，则的度数是（ ） A． B． C． D． 3.如图，已知△ABC，点D，F分别在边AB，AC上运动，点E为平面上的一个动点．当∠DEF＝∠A且点E恰在∠ABC与∠ACB的角平分线的交点处，若∠1+∠2＝140°，则∠BEC为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 2.模型2 三角形一内角平分线和一外角平分线的夹角 2 .如图，点P为△ABC内角平分线BP与外角平分线CP交点， 结论：∠BPC∠A； 模型证明：∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP交于P， ∴∠PBC∠ABC，∠PCD∠ACD， ∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P， ∴（∠A+∠ABC）＝∠PBC+∠P∠ABC+∠P， ∴∠P∠A； 模型的应用2 1. 如图，P是△ABC的∠ABC和∠ACB的外角的平分线的交点，若∠A＝90°，则∠P＝　 　． 2. 如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则______． 练习巩固2 1.如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ） A．36° B．30° C．20° D．18° 2.如图，△ABC中，∠B内角平分线和∠C外角平分线交于一点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线交于A2，继续作∠A2BC与∠A2CD的平分线可得∠A3，如此下去可得∠A4…，∠An，当∠A＝64°时，∠A2的度数为　 　． 3.模型3 三角形两外角平分线夹角 3.如图，点P是△ABC的外角平分线BP与CP的交点， 结论：∠P＝90°∠A 模型证明：∵BP、CP是△ABC的外角平分线， ∴∠PBC（∠A+∠ACB），∠PCB（∠A+∠ABC）， 又∵∠PBC+∠PCB+∠P＝180°， ∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB） ＝180°（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC） ＝180°（180+∠A） ＝90°∠A． 模型的应用3 1.如图所示，在△ABC中，∠A＝α，两外角平分线交于P点，∠P＝β，则α、β之间的关系为（　　） A．β＝90°α B．βα C．β＝90°α D．α＝90°β 2.【问题引入】（1）如图1，△ABC，点O是∠ABC和∠ACB相邻的外角平分线的交点，若∠A＝40°，请求出∠BOC的度数． 【深入探究】（2）如图2，在四边形ABCD中，点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，若∠B+∠D＝110°，请求出∠AOC的度数． 【类比猜想】（3）如图3，在△ABC中，∠CBO∠DBC，∠BCO∠ECB，∠A＝α，则∠BOC＝　 　（用α的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）． 练习巩固3 1.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠A=m，则∠BOC =（ ） A． B． C． D． 2.如图，点F，C在射线AN上，点B，E在射线AM上，∠MEF与∠NFE的角平分线交于点G，∠MBC与∠NCB的角平分线交于点P．若∠G＝67°，那么∠P＝　 　°． 模型五 角平分线与高线的夹角 如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线， 结论∠DAE＝（∠C-∠B） 模型证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC∠BAC， ∵AD是△ABC的BC边上的高， ∴∠ADC＝