专题突破01 与三角形角有关的几何模型（一）-2023-2024学年八年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

八年级数学上分层优化堂堂清 十一章 三角形 几何模型专题 与三角形角有关的几何模型（一） 模型一　角的“8”字模型 如图1-1所示,AC,BD相交于点O,连接AD,BC. 结论:（1）∠A+∠D=∠B+∠C. （2）AD+BC BD+AC 图1-1 模型结论的推导: （1）∵∠A+∠D+∠AOD=180°(　　　　　　　　),  ∠B+∠C+∠BOC=180°(　　　　　　　　),  又∠AOD=∠BOC(　　　　　　　　),  ∴∠A+∠D=∠B+∠C. （2） AD<OA+OD①BC<OB+OC② ①+②得:AD+BC<BD+AC 模型的应用1: 1.如图1-2,∠A=43°,∠D=57°,∠C=37°,则∠B的度数为　　　　.  2. 图1-3,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=　　　　.  图1-3 3.如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，，则的度数为　　 A． B． C． D． 4.(1)如图1-4①,求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E; (2)如图②,求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E. 5..如图1-5,已知∠1=∠2,∠3=∠4,判断∠A,∠C与∠E之间的数量关系,并证明你的结论. 图1-5 练习巩固1 1．如图，则的度数为（　 　 ）    A． B． C． D． 2．图中 ． 3．如图，已知：，分别平分和，其中，，求的值． 4．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是　 　； （2）如图2，若，的角平分线，交于点P，则与，的数量关系为　 　； （3）如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）； （4）如图4，如果，，当时，试求的度数． 模型二　角的燕尾模型 如图1-6所示,有结论:∠BDC=∠BAC+∠B+∠C. 图1--6 模型结论的推导: 如图1-6,连接AD并延长到点E. ∵∠BDE=∠B+∠BAD(　　　　　　　　　　),  ∠CDE=∠C+∠CAD(　　　　　　　　　),  ∴∠BDE+∠CDE=∠B+∠C+∠BAD+∠CAD. 又∵∠BDC=∠BDE+∠CDE,∠BAC=∠BAD+∠CAD,∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C. 模型的应用2: 1. 如图1-7,已知∠A=60°,∠BDC=120°,∠C=37°,则∠B=　　　　°.  2. .如图，∠A＝50°，∠ABO＝28°，∠ACO＝32°，则∠BDC＝　　 度，∠BOC＝　 度． 练习巩固2 1.如图，∠A＝50°，∠ABO＝28°，∠ACO＝32°，则∠BDC＝　　 度，∠BOC＝　 度． 2.如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数. 3.如图1-9,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F. 4.如图1-10,BP,DP分别平分∠ABC与∠ADC,且交于点P,判断∠A,∠C与∠P之间的数量关系,并证明你的结论. 图1-10 模型三　角的折叠模型 折纸中的角度 如图1-11,将一张三角形纸片沿DE折叠,设∠BDA'=∠1,∠CEA'=∠2. 结论:(1)如图①,2∠A=∠1+∠2; (2)如图②,2∠A=∠1-∠2. 模型结论的推导: 结论(1):由折叠可知,∠ADE=　　　　,∠AED=　　　　,而∠ADE+∠A'DE+∠1=　　　　,∠AED+∠A'ED+∠2=　　　　,  即∠1=180°-　　　　,∠2=180°-　　　　,  ∴∠1+∠2=360°-2∠ADE-2∠AED=2∠A. 自己试着推导结论(2).∠1—∠2=2∠A 模型的应用3: 1.如图，三角形纸片ABC中∠A＝63°，∠B＝77°，将纸片一角折叠，使点C落在△ABC的内部，若∠2＝50°，则∠1＝　 　． 2.探索归纳： （1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于 　 A.90°B.135°C.270° D.315° （2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝　 　 （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系 是 　 （3） 如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由． 练习巩固3 1.如图，把纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCED的外部，，，则的度数为（ ） A．32° B．30° C．28° D．26° 2.如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是(    ) A. B. C. D. 能力强化提升训练 1.如图，____________． 2