3.1.1 椭圆及其标准方程（第1课时） 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.1 椭圆及其标准方程 第1课时 人教A版（2019）选择性必修第一册 学习目标 1. 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决问题中的作用。 2. 学会从具体情境中抽象出椭圆，掌握椭圆的定义。 3.掌握椭圆定义的应用及椭圆标准方程的推导过程。 4.核心素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算 一、情境导入 行星运动轨迹 卫星信号接收器 发电站冷却塔 二、新课讲授 1、圆锥曲线 问题1 用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，借口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆.如果改变截面与圆锥的轴所成的角，会得到怎样的截口曲线呢？ 问题2 历史上，古希腊曾经用纯几何的方法研究圆锥曲线，但17世纪后，人们开始用坐标法研究圆锥曲线.你能猜测这些变化的大致原因吗？ 采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确地计算. 追问1 如果本章我们坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐标法研究直线与圆的基础上，猜想研究的大致思路与构架吗？ 现实背景 →曲线的概念 →曲线的方程 →曲线的性质 →曲线的应用 问题3 如果把细绳的两端分别固定在图板的两点, ，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 2、椭圆 追问1 在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 移动的笔尖（动点）到两定点, 的距离和为绳长（定长）. 追问2 当动点到两定点间距离和与两定点间距离的大小关系发生变化时动点的轨迹会发生什么变化？ ①当动点到两定点间距离和等于两定点间距离时，动点轨迹为线段. ②当动点到两定点间距离和大于两定点间距离时，动点轨迹为椭圆. 追问3 动点到两定点间距离和能小于两定点间的距离吗？ 不能，若小于则不存在动点轨迹. 我们把平面内与两个定点, 的距离的和等于常数（大于||）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）.这两个定点叫做椭圆的焦点（focus），两焦点间距离叫做椭圆的焦距（ focus distance），焦距的一半称为半焦距. 椭圆的定义 问题4 利用坐标法求椭圆方程的步骤是什么？你能说说吗？ 3、椭圆的标准方程 1、根据椭圆的几何特征建立适当的平面直角坐标系； 2、明确椭圆上的点满足的几何条件； 3、将几何条件转化为代数表示，列出方程； 4、化简方程； 5、检验方程. 追问1 椭圆是否具有某种对称性？你能猜想出椭圆的对称轴吗？ 所在直线及线段的垂直平分线 追问2 如何建系能使所得椭圆的方程形式简单？ 以经过椭圆两焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系. O 1、建立适当的坐标系，用有序数对（）表示曲线上的任意一点的坐标； 2、写出合适条件的点的集合是建立曲线方程的依据； 3、用坐标表示条件，列出方程0，这是建立曲线方程是关键； 4、将方程0化为最简形式，以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上，反之也成立. 问题5 如何用坐标表示椭圆上的点所满足的条件？ O 分析：由椭圆的定义可知，椭圆看作点集： 设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，那么焦点, 的坐标分别为， . 由有 + 化简得 () 上式同除以得到1(0). 令 ， 则上式变形为 ， 因为方程+变形到1 (0)的过程中都是同解变形，所以椭圆上任意一点的坐标都满足该方程；反之，以方程1 (0)的解为坐标的点都在椭圆上. 我们称方程1 (0)是椭圆的标准方程，它表示焦点在轴上，两焦点分别是 ， 的椭圆，这里 . 追问1 椭圆方程中的有什么几何意义？ 追问2 如何使画出来的椭圆变“瘪”一些？ 使变小即可.即不变时， 变大；或不变时，变小. 三、巩固新知 例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别为， ，并且经过点，求它的标准方程. 解：设它的标准方程为1 (0). + 所以，所求椭圆的标准方程为1. 则 =10 4=6， 四、课堂小结 1、用坐标法研究曲线方程的基本思路 五、作业布置 课本P109：练习 第2题 2、椭圆的概念及其标准方程 Lavf57.62.100 Lavf57.62.100 $$