第二十一章 一元二次方程（本章小结与复习）-2023-2024学年九年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

九年级数学上分层优化堂堂清 二十一章 一元二次方程 本章小结与复习 1、 知识体系构建 老师对你说： 1. 一元二次方程的相关概念 (1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程． (2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项． 2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解. ( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解. ( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2-4ac≥0）. (4) 配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法． 3.根的判别式 (1)当Δ＝>0时，原方程有两个不相等的实数根． (2)当Δ＝=0时，原方程有两个相等的实数根． (3)当Δ＝<0时，原方程没有实数根． 4.列一元二次方程解应用题 （1）解题步骤：①审题；② 设未知数；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答． （2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用. ①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量； ②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%； ③传播、比赛问题： ④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程. 注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义. 2、 考点整合训练 考点一、一元二次方程有关概念 1.下列方程是一元二次方程的是(    ) A． B．x2=2x C．（2x+1）（2x﹣1）=4x（x+7） D．x（x2﹣5）=5 2.若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．0 B．2 C． D．4 3. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A． B． C． D．或 考点二、一元二次方程的解法 4 .下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ． 解：二次项系数化为1，得，第一步         移项，得，第二步 配方，得，第三步 变形，得，第四步 开方，得，第五步 解得，，第六步 (1)上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______； (2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程． 5用适当方法解方程：x2﹣7x＋6＝0． 6 .若，则的值是（    ） A．2 B．3 C．或3 D．2或 7 .按要求解方程 (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（公式法） (4)（因式分解法） (5)（换元法） 8 .先阅读下面的内容，再解答问题． 【阅读】例题：求多项式的最小值． 解：， ∵，∴ ∴多项式的最小值是4 (1)请写出例题解答过程中把一个三项二次式转化为一个二项式的平方运用的公式是______； (2)求多项式的最大值． 考点三、一元二次方程根的判别式与根与系数的关系 9. 已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，这个方程总有实数根； (2)若等腰的底边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长。 10 .关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 11 .方程有两个实数根，则m的取值范围（    ） A．且 B．且 C． D．且 12 .已知关于的方程 (1)当取什么值时，方程只有一个根？ (2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 13 .关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果，是方程的两个解，令，求的最大值． 14 .已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）是否存在实数m，使该方程的两个实数根x1、x2满足2x1x2﹣x1﹣x2＝3，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 考点四、一元二次方程的应用 15 .今年下半年以来，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致．非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快．某养猪场第一天发现3头生猪发病，两天后发现共有192头生猪发病． （1）求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？ （2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过1500头吗？ 16 .电影《流浪地球2》讲述