21.3 实际问题与一元二次方程（第二课时 面积问题，销售利润问题）-2023-2024学年九年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

九年级数学上分层优化堂堂清 二十一章 一元二次方程 21.3实际问题与一元二次方程 第二课时 面积问题，销售利润问题（解析版） 学习目标： 1.根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。 2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。 老师对你说： 1.几何面积问题：利用勾股定理建立一元二次方程。 利用面积公式建立二元一次方程。 2.销售利润问题：总利润＝单利润×数量 现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分） 现数量＝原数量－（原数量＋） 3.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、 　　　 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字 只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用 其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位 数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为： 　　　　　 100c+10b+a. 　 (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 　　　如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 　　　几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 　　　如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 基础提升 教材核心知识点精练 知识点1：几何图形问题 【例1-1】如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料，鸡舍的一边利用长为12米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为90平方米？    【答案】鸡舍的边长、分别是9米，10米． 【分析】设的长度为米，则的长度为米，的长度为米，根据矩形的面积公式列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：设的长度为米，则的长度为米，的长度为米， 根据题意得：， 解得：，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，， 即，， 答：鸡舍的边长、分别是9米，10米． 【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用，矩形的面积公式，一元二次方程的解法，根据题目的等量关系正确列方程是解题关键． 【例1-2】如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时， (1) 的面积等于平方厘米？ (2) 五边形的面积最小？最小值是多少？ 【答案】(1)2秒或4秒；(2)3秒时，五边形的面积最小，最小值是39平方厘米 【分析】（1）设运动时间为，则，，再由面积公式建立方程求解即可； （2）由（1）可得：要使的面积有最大值，则要使取最大值，则此时，面积为9， 则此时五边形的面积最小，从而可得答案． （1）解：设运动时间为，则，， 则， 解得：或． ∴经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米． （2）由（1）可得： ∴要使的面积有最大值，则要使取最大值，则此时，面积为9， 则此时五边形的面积最小，最小值为． 【点拨】本题主要考查动点问题，一元二次方程的应用，配方法的应用，熟练的解一元二次方程是解本题的关键． 知识点2：数字问题 【例2-1】阅读材料，回答下列问题： 反序数： 有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：的反序数是，的反序数是． 用方程知识解决问题： 若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为，求这个两位数． 【答案】 【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据这个两位数与其反序数之积为，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为， 根据题意得：， ∴，即， ∴， ∴ 解得或（舍去）， ∴， ∴这个两位数为． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【例2-2】下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（ ）． A．32 B．126 C．135 D．144 【答案】D 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差