21.2 一元二次方程根与系数的关系-2023-2024学年九年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

九年级数学上分层优化堂堂清 二十一章 一元二次方程 21.2.4一元二次方程根与系数的关系 学习目标： 1.探索一元二次方程的根与系数的关系。 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题。 老师对你说： 一、根与系数的关系 （1）语言表达：也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. （2）数学表达：对于一元二次方程，若，则。 若一元二次方程的两个实数根是，当，则 注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0。 二、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）的应用 （1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可检验两个数是不是一元二次方程的两个根； （2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； （3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值。 （4）已知方程的两根，求作一个一元二次方程； （5）已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。 注意：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）的应用常常涉及一下代数式的一些重要变形，需要牢牢记住： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨。 基础提升 教材核心知识点精练 知识点1：一元二次方程根与系数的关系 【例1-1】关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（ ） A. B. C. 1 D. 【例1-2】已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； （2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 【例1-3】已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 知识点2：根与系数关系的应用 【例2-1】若则以为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【例2-3】已知关于的一元二次方程. （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值 能力强化提升训练 1.已知a，b是方程的两个根，则的值 ． 2.已知关于的方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值． 3.已知，是方程的两个根，则代数的值为 ． 4.已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）当m＝2时，方程的根为x1，x2， ①求代数式的值； ②求代数式的值． 堂堂清 1、 选择题（每小题4分，共32分） 1 .一元二次方程x2﹣2x＝0其中一个根是0，则另一个根的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣2 2. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 3. 已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（　　） A．x1+x2＞0 B．x1•x2＜0 C．x1≠x2 D．方程必有一正根 4. 已知关于的一元二次方程有一个根为,则另一个根为（  ） A． B． C． D． 5.如果关于x的一元二次方程的两个根分别是，，那么p，q的值分别是（    ） A．3，4 B．-7，12 C．7，12 D．7，-12 6 .若p、q是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为 ． 7. 方程根的符号是（      ） A．两根一正一负 B．两根都是负数 C．两根都是正数 D．无法确定 8. 已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值 为（ ） A. B. C. 或3 D. 或3 2、 填空题（每小题4分，共20分） 9 .若、是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 10 .若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为________ 11 .设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的两个根，当x1为1时则x1x2的值是________． 12 .设x1，x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝1，则m＝　　． 13. 已知方程x2﹣2023x+1＝0的两根分别为x1，x2．则的值为 　　． 3、 解答题（共48分） 14 .（8分）已知x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+x+c2﹣8c﹣2＝0的一个根． （1）求c． （2）求此方程的另一个根． 15 .（9分）不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1）﹣2x2+3＝0； （2）x2﹣7x﹣3＝0； （3）3x（x﹣2）＝5． 16（7分）已知关于x的方程