4.3.1等比数列的概念课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1等比数列的概念 一、等比数列的概念 (1)文字语言：一般地，如果一个数列从第_____项起，每一项与它的前一项的比都等于__________常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母________表示． (2)符号语言：＝q(q为常数，n∈N*) 注释： 1. 等比数列中不能出现0,公比不能为0； 2. 当q＝1时，此时为常数列，也是等差数列． 2 同一个不 为零 q(q≠0) 讲授新知 二、等比中项 在两个数a，b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项. 注释：只有当a、b同号时a、b才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是与－；当a，b异号时没有等比中项． 讲授新知 三、等比数列的通项公式 (1)已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则数列{an}的通项公式为an＝________． (2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m，变形得qn－m＝. 注释：等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示． a1qn－1 讲授新知 四、等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点． 讲授新知 题型1　等比数列通项公式的基本运算 例1　在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 例题讲解 解：设首项为a1，公比为q. (1)方法一： 由得q3＝4，q＝，a1q3＝2， a1＝＝，an＝a1qn－1＝. 方法二：a7＝a4q3，q3＝4，q＝. an＝a4qn－4＝2·()n－4＝. (2)方法一： 由得q＝，a1＝32， 又an＝1， 32×()n－1＝1. 26－n＝20，n＝6. 方法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)， 所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1，知n＝6. 方法总结： 等比数列中求和的2种常用方法 1.根据已知条件，建立关于和的方程组，求出和后再求出; 2.充分利用各项之间的关系，直接求出后，再求出，最后求 题型2　等比中项的应用 例2　(1)已知等比数列的前3项依次为x，2x＋2，3x＋3，求实数x的值； (2)已知等比数列{an}，a2a3a4＝64，a3＋a6＝36，求a2和a6的等比中项． 解：(1)因为等比数列的前3项依次为x，2x＋2，3x＋3，所以x(3x＋3)＝(2x＋2)2，解得x＝－1或x＝－4.又因为当x＝－1时，2x＋2＝3x＋3＝0不合题意，所以实数x的值为－4. (2)因为{an}是等比数列，所以a3是a2和a4的等比中项，即＝a2a4，所以＝64，解得a3＝4，从而a6＝32.设{an}的公比为q，则解得所以a2＝a1q＝2. 设a2和a6的等比中项为G，则G2＝a2a6＝64，所以G＝±8. 例题讲解 等比中项应用的注释 1.只有同号时， 的等比中项有两个； 异号时，没有等比中项； 2.在等比数列{an}中，偶数项同号，奇数项同号； 3. 成等比数列 题型3　灵活设元求解等比数列问题 例3 (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________． 45 解：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3， 则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列． 解得a＝3，q＝2. 这四个数分别是3，6，12，24，其和为45. (2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数． 解：方法一：设前三个数分别为，a，aq，则·a·aq＝216， a3＝216,a＝6. 前三个数为，6，6q. 由题意知第4个数为12q－6. 6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝. 故所求的四个数为9，6，4，2. 方法二：设后三个数为4－d，4，4＋d，则第一个数为(4－d)2， 由题意知(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝6,d＝－2. 故所求得的四个数为9，6，4，2. 几个数成等比数列的设法 1．三个数成等比数列设为，a，aq. 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，，a，aq，aq2，… 2．四个符号相同的数成等比数列设为，aq，aq3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，，aq，aq3，aq5，… 3．四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3. （1）若等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a4＋a5＝81，则数列{an}的公比为(　　) A．－2