第03讲 函数的奇偶性（知识解读+题型精讲+随堂检测）-2023-2024学年高一数学《知识解读·题型专练》（人教A版2019必修第一册）

第03讲 奇偶性 知识点1函数奇偶性的定义 知识点2 函数奇偶性的判定方法 1.定义法： 若函数的定义域不是关于原点对称，则可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数； 若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与等于0，从而确定奇偶性； 即（1）如果或，则函数为偶函数； （2）如果或，则函数为奇函数． 2. 图像法： 若函数图像关于原点对称，则函数为奇函数； 若函数关于y轴对称，则函数为偶函数 知识点3 用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 知识点4 　奇偶性与单调性 （1）若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性； （2）若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性． 【题型1 奇偶性的定义】 【典例1】（2022秋•鄄城县期末）已知f（x）＝ax2﹣bx+1是定义域为[a，a+1]的偶函数，则ab﹣a2＝（　　） A．0 B． C． D． 【变式1】（2020•东湖区校级一模）已知f（x）＝ax2+bx是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（　　） A． B． C． D． 【题型2 奇偶性的判断】 【典例2】（2022秋•川汇区校级月考）判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝x4﹣2x2； （2）f（x）＝x5﹣x； （3）； （4）f（x）＝|x|+x． 【变式2-1】（2022秋•井冈山市校级期中）判断下列函数的奇偶性． （1）f（x）＝；（2）f（x）＝． 【变式2-2】（2022秋•川汇区校级期末）判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型3 利用奇偶性求值】 【典例3】（2023春•建水县校级期中）已知函数g（x）是奇函数，若，则g（﹣3）＝（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3 【变式3-1】（2023春•商洛期末）已知y＝f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3+x2+2，则f（﹣2）＝（　　） A．﹣2 B．﹣14 C．2 D．14 【变式3-2】（2023春•梁园区校级期末）已知f（x）是定义域为R的奇函数，x＞0时，f（x）＝x+1，则f（﹣1）＝（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2 【变式3-3】（2023春•唐山期末）已知函数f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝x+2，则f（0）+f（3）等于（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【变式3-4】（2023春•龙凤区校级期末）设f（x）＝﹣x3+（a﹣2）x2+x是定义在[2b，b+3]上的奇函数，则f（a+b）＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣2 【题型4 利用奇偶性求解析式】 【典例4】（2022秋•元宝区校级期末）已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则函数f（x）在R上的解析式为　　 ． 【变式4-1】（2023春•红塔区校级月考）已知f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x﹣3，则当x＜0时，f（x）＝（　　） A．﹣x2﹣2x+3 B．x2+2x﹣3 C．﹣x2+2x+3 D．x2﹣2x﹣3 【变式4-2】（2022秋•西安区期末）函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣x+1． （1）计算f（0），f（﹣1）； （2）求f（x）的解析式． 【题型5奇偶性与单调性的综合运用】 【典例5】（2023春•隆阳区校级期中）已知函数，且f（1）＝2． （1）求a的值； （2）判断函数f（x）的奇偶性； （3）求证：f（x）在区间（0，1）上单调递减． 【变式5-1】（2022秋•东城区校级期中）． （1）判断f（x）奇偶性并说明理由； （2）求证：函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增． 【变式5-2】（2022秋•桂林期末）已知函数f（x）＝． （1）判断函数f（x）奇偶性，并说明理由； （2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，并利用单调性定义说明理由． 【变式5-2】（2022秋•天河区期末）已知函数f（x）＝． （1）证明：函数f（x）为奇函数； （2）判断函数f（x）在区间（2，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明． 【题型6抽象函数的性质】 【典例6】（2022•铜陵学业考试）已知定义R上的奇函数