3.1.1 椭圆及其标准方程 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆及其标准方程 Conic sections · ellipse 3.1.1 中国国家大剧院 中国国家大剧院造型新颖、前卫，构思独特，庞大的椭圆外形在长安街上显得像个“天外来客” 。这座“城市中的剧院、剧院中的城市”以一颗献给新世纪的超越想象的“湖中明珠”的奇异姿态出现。 圆锥曲线应用广泛与科研、生产以及人类生活有着密切的联系。 建立方程 几何特征 定义椭圆 研究思路 我们常常采用生成性定义来定义平面几何图形 例如圆是平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹 类似的，怎样定义椭圆呢？ 生成性定义 椭圆：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 常数(大于|F1F2|)的点的轨迹. 焦点：两个定点F1，F2. 焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 半焦距：焦距的一半 定义椭圆 F1 F2 建立方程 几何特征 若常数等于|F1F2|，轨迹是什么？ 若常数小于|F1F2|呢？ 一条线段 不存在 对称性 观察椭圆的形状，你认为它有什么几何特点 F1 F2 M O x y 几何特征 建立方程 设P(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0)，P与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . 求动点P的轨迹方程. 解：由椭圆的定义得： 又因为 得： 解得： 建立方程 设P(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0)，P与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . 求动点P的轨迹方程. 解得： 因为 即 ，故 设 则 你能从中找出表示a、c、b的线段吗？ 椭圆的标准方程 是焦点在y轴上的椭圆的标准方程 思考 它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是 ，中心在坐标原点的椭圆方程 ,其中 如果椭圆的焦点在y轴上,那么椭圆的标准方程是什么？ 只要将方程中 的 x 和 y 调换，即可得 思考：能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？   焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 _________________ _________________ 焦点坐标 ____________________ ____________________ a，b，c的关系 __________ F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) b2＝a2－c2 椭圆的标准方程 焦点位置 思考：能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？ 椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大； 椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大. 新知巩固 XIN ZHI GONG GU 1.平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆.(　　) 2.到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.(　　) 3.椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关.(　　) 4.椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足a2＝b2＋c2.(　　) × × × √ 5.椭圆的焦点是 , ,焦距是 . 8 (-8,0) (8,0) 16 求椭圆的标准方程 QIU TUO YUAN DE BIAO ZHUN FANG CHENG 例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； 解　∵椭圆的焦点在y轴上， 待定系数法 设标准方程 代入点求出a和b 注意判断标准方程的形式，看清焦点在哪里 除了待定系数法，还能用其他方法求它的标准方程吗？ 求椭圆的标准方程 QIU TUO YUAN DE BIAO ZHUN FANG CHENG 例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； 解　∵椭圆的焦点在y轴上， 待定系数法 设标准方程 代入点求出a和b 注意判断标准方程的形式，看清焦点在哪里. 另解　∵椭圆的焦点在y轴上， 且经过两个点(0,2)和(1,0) ∴a=2,b=1 求椭圆的标准方程 QIU TUO YUAN DE BIAO ZHUN FANG CHENG (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭