1.2空间向量基本定理两课时

1.2 空间向量基本定理 引入：请同学们回顾上一本书中说的，什么样的向量可以作为这个平面的基底？ 这个平面上的任意向量可以怎样被表示出来？ 若 , 是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任一向量， 有且只有一对实数x，y，使＝x＋y． 若, 不共线， 则把{，}叫做表示这一平面内所有向量的基底． 复习引入 平面内任一向量可用2个不共线的向量表示 空间中任一向量可用3个不共面的向量表示吗？ 类比推广 空间中任一向量可用3个两两垂直且不共面的向量表示吗？ 探究交流 O A B D P C 思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？ (2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x，y，z)是否唯一？ 不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面． 唯一确定． 探究交流 空间向量基本定理 定理：如果三个向量 ，，不共面，那么对任意一个空间向量， 存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得＝x＋y＋z． 把{，，}叫做空间的一个基底，，，叫做基向量． 注：①空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． ②单位正交基底{}：基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1. ③把空间向量进行正交分解：把任意一个空间向量分解为三个两两垂直的向量， 即＝x＋y＋z． 构建数学 以同起点的向量做平行四边形、平行六面体，则和向量为面对角线，体对角线 P12-练习1．已知{，，}是空间的一个基底，从中选哪一个向量，一定可以与向量=构成空间的另一个基底？ P12-练习 以同起点的向量做平行四边形、平行六面体，则和向量为面对角线，体对角线 P12-例1.如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且 MN＝ON，AP＝AN，用向量，，表示． 同类题：P15-3、4 以三角形法则或平行四边形法则为切入点，建立目标向量与基底的关系. 用基底表示向量 典例分析 以同起点的向量做平行四边形、平行六面体，则和向量为面对角线，体对角线 P12-练习3.如图，已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，点G是侧面BB′C′C 的中心，且＝a，＝b，＝c ． （1）{a，b，c} 是否构成空间的一个基底？ （2）如果 {a，b，c} 构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量： ，，，． 是 小试身手 以同起点的向量做平行四边形、平行六面体，则和向量为面对角线，体对角线 用基底表示向量的三个步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底、结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 方法总结 基底法：1证线线垂直(向量数量积为0) P13-例2.如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N 分别为 D1C1，C1B1 的中点．求证 ：MN⊥AC1． 同类题：P14-3 P15-6/7(1) 应用拓展 以同起点的向量做平行四边形、平行六面体，则和向量为面对角线，体对角线 基底法：2求异面直线所成角(向量夹角) P13-例3.如图，正方体 ABCD－A′B′C′D′ 的棱长为 1，E，F，G 分别为 C′D′，A′D′，D′D 的中点．求CE与AG所成角的余弦值． 同类：P14-2 P15-7(2) 应用拓展 以同起点的向量做平行四边形、平行六面体，则和向量为面对角线，体对角线 基底法3：求线段长度(向量的模) 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA=2，且PA与AB,AD的夹角均为60°，点M是PC的中点，求BM的长. 同类：P15-5 应用拓展 以同起点的向量做平行四边形、平行六面体，则和向量为面对角线，体对角线 小结：基底的判断 以同起点的向量做平行四边形、平行六面体，则和向量为面对角线，体对角线 判断三个空间向量是否能构成一个基底： 若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． 方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底； ②如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底． ②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． $$