1.1.2空间向量的数量积

1.1.2 空间向量的数量积 1.两个向量的夹角 B A O B B 有共同起点 ①定义：∠AOB ②表示：<,> ③范围：[0，π] 2.数量积的定义 3.数量积的几何意义 θ 在方向上的投影 ||与在方向上的 投影的积 4.数量积的运算律 (1)(λ)·＝____________； (2)·＝____________； (3)·(＋)=_____________. λ(·) · ·＋· 5.一个非常重要的性质 ||2=2=· 求模即为求数量积 复习引入 掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养． 掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养． 了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养． 能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养. 学习目标 学习目标 问题1:类比平面向量的数量积，你能得出空间向量的数量积相关知识？ 复习引入 平面向量的数量积 O A B 2.零向量与任意向量的数量积为0： 1.向量的数量积运算结果是一个数； “·”不可省略 3.求模： 4.空间向量的数量积的运算律： (数量积不可约分) (数量积不满足结合律) 如: (数量积不可作商) 复习引入 问题1:类比平面向量的数量积，你能得出空间向量的数量积相关知识？ 追问1：什么是平面向量的夹角？你能类比平面向量给出空间向量夹角的概念吗？ 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义． 新知引入 O B A O B A 空间向量的夹角 构建数学 特别地，零向量与任意向量的数量积为0． 空间向量的数量积 构建数学 （1）0·a = （选择0还是0）. （2）对于两个非零向量a，b，a⊥b ⟺ a·b ＝_______. （3）a·a＝_____或|a|＝_______. （4）若a，b同向，则 a·b＝_______；若反向，则a·b＝_______. （5）|a·b| ____ |a|·|b| （6）若θ为a，b的夹角，则cos θ＝_______. 由平面向量性质类比空间向量的数量积的性质： 证明垂直关系 求空间向量的长度 求向量夹角的余弦值 小试身手 【例1】如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值： 【解】 典例分析 问题2:在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影向量 b a A B A1 D C B1 b a . O N M M1 ＝|a|cos〈a,b〉 作法1 作法2 追问1：在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？ 探究交流 A B (1) (2) (3) 探究交流 问3：类比平面向量数量积的运算律，空间向量数量积满足哪些运算律？ 数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b), λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 平面向量数量积的运算律： 空间向量？ 同样满足上述运算律！ 探究交流 A O B C 分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c的证明 a b c C’ A O B C a b c C’ B’ 分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c的证明 O A B O A B 1.找角：两向量同起点 2.范围： O A B O A B 空间向量的数量积 构建数学 由a·b = a·c， a·b－a·c ＝0，有a·(b－c)＝0. 或 a⊥(b－c). 从而有b－c ＝0即b＝c O A B C 不一定！ 不能！ a·b＝k ＝a·c 向量没有除法运算! 不一定！两个向量的数量积为一个实数，(a·b)c和a(b·c)分别表示与向量c和向量a共线的向量，它们不一定相等. ②求线段长度：即求向量的模(目标向量用已知模和夹角的向量表示) D' C' B' D A B C A' 典例分析 例题变式 【练习1】如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求 【解】 （1）能否利用空间向量的数量积证明空间中两条直线垂直？ （2）能否利用空间向量的数量积求出空间中异面直线所成角？ （3）能否利用空间向量的数量积解决更多的立体几何中的问题？   小试身手 9 2. 3.已知向量 ，满足|| 1 课前热身 3.已知向量 ，满足|| m n g l 典例分析 法 回顾本节课的学习过程，你学到了什么？ 1 数量积运算解决立体几何问题 (1) 求空间中两点间的距离或线段长度：求对应的向量的模 (2) 求空间中两条异面直线所成的角：求对应的两个向量的夹角 (3) 证明线线垂直问题：对应