数列求和题型归纳讲义-2024届高三数学一轮复习

数列的和 1．公式法 （1）等差数列{an}的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列{an}的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4)倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解． (5)奇偶并项求和：如果一个数列通项公式中含有，或者奇偶项的通项公式不同的话，那么将奇偶项合并成一个新的数列. 3．常用结论 常见的裂项技巧，其中1，A小B大；2，；3， ①；；；； ②；； ③；； ④ ⑤； ⑥； 平方递推式与裂项相消： ① ② ③ ④ ⑤ 则 常见放缩公式：． 考点一 倒序相加法 【例1】（1）函数，正项等比数列，满足， 则________． （2）若函数，则______． 【训练1-1】已知函数，则 _________； 【训练1-2】设函数,定义,其中,则_________． 【训练1-3】已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为_________． 考点二 裂项相消法求和 考向1 形如(k为非零常数)型 【例2】已知数列的前n项和满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 考向2 形如型 【例3】正项数列的前n项和Sn满足： (1) 求数列的通项公式； (2) (2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜ . 【训练3】数列满足，且. （1）设，证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和为. 考向3 形如型 【例4】在数列中，，，且对任意的N*，都有. （Ⅰ）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （Ⅱ）设，记数列的前项和为，若对任意的N*都有，求实数的取值范围. 【训练4】已知数列满足，.（1）求数列的通项公式； （2）令，记数列的前项和为，若对于任意的，均有恒成立，求实数的取值范围. 考向4 形如型 【例5】已知是公差不为零的等差数列的前项和，是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）设数列，数列的前项和为，若，求正整数的最小值. 【训练5】已知数列的前项和为，，设. （1） 证明：是等比数列； （2）设，求的前项和，若恒成立，求取值范围. 考向5 形如型（大于1指数在分子，小于1指数在分母） 【例6】已知正项数列满足：，，其中是数列的前项和． （1） 求数列的通项公式；（2）设，证明： 【训练6-1】已知为单调递增数列，为其前项和， （1）求的通项公式； （2）若为数列的前项和，证明：. 考向6 形如(k为非零常数)型 【例7】已知函数的图象过点，令．记数列的前n项和为，则(　　) A．　　　　　B． C． D． 【训练7】已知数列中，，是数列的前项和，且． （1）求，，并求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，若对任意的正整数都成立， 求实数的取值范围． 考向7 平方的形式 【例8】，若恒成立，求整数的最小值 【训练8】，设若的前项和，恒成立，求整数的最大值。 考点三 错位相减法求和 错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 等差乘等比数列求和，令, 可以用错位相减法． ① ② ①-②得：． 整理公式得：． 【例9】求数列的前项和． 【训练9-1】设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为．已知 ，，，． （1）求数列，的通项公式； （2）当时，记，求数列的前项和． 【训练9-2】设数列满足： （1）求数列的通项； （2）设，求数列的前项和． 考点四 奇偶并项求和 【例10】已知数列， ， 为数列的前项和， ， ， （）[来源:Zxxk.Com] （1）求数列的通项公式； （2）证明为等差数列； （3）若数列的通项公式为，令为的前项的和，求. 【训练10-1】已知数列的前项和是，且． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列前项的和． 【训练10-2】已知数列的前项和为，且,（），若, 则数列的前项和_______________. 【训练10-3】已知数列的各项均为正数，对任意，它