二项分布与超几何题型归纳讲义-2024届高三数学一轮复习

二项分布与超几何分布 考点一 次独立重复试验 1. 定义 一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2．特点 （1）每次试验中，事件发生的概率是相同的； （2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． 考点二 二项分布 1.定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2.二项分布的适用条件及实质 (1)适用条件： ①各次试验中的事件是相互独立的；②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． (2)实质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3.二项分布的期望、方差 若，则，． 考点三 超几何分布 1.定义 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列.如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布，记作. 0 1 … … 2.超几何分布的适用条件及实质 （1）适用条件： ①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）实质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 3.超几何分布的期望 若，则． 【例1】袋中有个白球、个黑球，从中随机地连续抽取次，每次取个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数的分布列． 【解析】（1）有放回抽样时，取到的黑球数可能的取值为，，，．又由于每次取到黑球的概率均为，次取球可以看成次独立重复试验，则．故； ； ； ． 因此，的分布列为 （2）不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0，1，2，且有：；；． 因此，的分布列为 考点四 二项分布与超几何分布的区别与联系 区别： 特征 数量 是否放回 实验概率不变 超几何分布 已知总数，且构成总数的每一个组成部分的数量也必须已知。 不放回 一次性完成实验 二项分布 （1）总数数量未知，或者数量很多趋近于. （2）总数数量已知，但构成每一部分的数目不确定. 有放回 重复实验多次，并且每次实验的概率不变 一般情况满足上述特征中的一个即可判断是那种分布，少数情况需要综合多种特征判断。 联系： 两者之间的关系：样本个数越大，超几何分布和二项分布对应的概率值差别就越小，当样本个数为时，超几何分布和二项分布对应的概率就相等，换言之，超几何分布的极限就是二项分布. 场景一：100件商品，98件好的，2件次品，从中挑3件商品送检，X为次品数目，X满足什么分布？为什么？ 场景二：一堆商品，其中好的有，次品10%，从中挑3件商品送检，X为次品数目，X满足什么分布？为什么？ 场景三：1000件商品，其中好的有，次品10%，随机选取10件商品，并从中依次挑3件商品送检，X为次品数目，X满足什么分布？为什么？ 场景四：1000件商品，其中好的有，次品10%，按分层抽样的方式选取10件商品，并从中依次挑3件商品送检，X为次品数目，X满足什么分布？为什么？ 场景五：1000件商品，其中好的有，次品10%，按分层抽样的方式选取10件商品，并从中有放回的依次挑3件商品送检，X为次品数目，X满足什么分布？为什么？ 【例2】 一次核酸检测中，每个人阳性的概率为0.2，现有5份样本需要检测。 （1） 求恰好第4次检测出2份阳性样本的概率。 （2） 若5份样本中，已知有2份阳性。求恰好第4次检测出全部两份阳性样本的概率。 （3） 若5份样本中，已知有2份阳性。求第4次才能推断出两份阳性样本的概率。 【例3】已知每个人阳性的概率为0.2，现有5份样本需要检测，其中2份阳性样本。恰好第X次检测出2份阳性样本，求X的分布列。 【例4】已知每个人阳性的概率为0.3，现有5份样本需要检测，其中2份阳性样本。经过第X次检测才能推断出2份阳性样本，求X的分布列。 题型一：次独立重复试验 例5．进入