专题01 集合、常用逻辑用语、不等式（新定义，高数观点，压轴题）-【挑战压轴题】备战2024年高考数学压轴题通法训练·高分必刷系列（新高考版）

专题01 集合、常用逻辑用语、不等式（新定义，高数观点，压轴题） 目录 一、集合的新定义（高数观点）题 2 ①乘法运算封闭 2 ②“群”运算 2 ③“”运算 3 ④“”运算 4 ⑤戴德金分割 4 ⑥“类” 5 ⑦差集运算 6 ⑧“势” 7 ⑨“好集” 7 二、逻辑推理 8 ①充分性必要性 8 ②逻辑推理 8 三、不等式 9 ①作差法 9 ②基本不等式 9 一、集合的新定义（高数观点）题 ①乘法运算封闭 1．（2023春·高一课时练习）设⊕是R上的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(　　) A．自然数集 B．整数集 C．有理数集 D．无理数集 2．（2023·全国·高三专题练习）非空集合关于运算满足：① 对任意，都有；② 存在使对一切都有，则称是关于运算的融洽集，现有下列集合及运算： ①是非负整数集，运算：实数的加法； ②是偶数集，运算：实数的乘法； ③是所有二次三项式组成的集合，运算：多项式的乘法； ④，运算：实数的乘法； 其中为融洽集的是 ②“群”运算 1．（2022·全国·高三专题练习）“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件： ①，，有 ②如，，，有； ③在中有一个元素，对，都有，称为的单位元； ④，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元．此时称（，*）为一个群． 例如实数集和实数集上的加法运算“”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（    ） A．，则为一个群 B．，则为一个群 C．，则为一个群 D．{平面向量}，则为一个群 2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）若非空集合G和G上的二元运算“”满足：①，；②，对，：③，使，，有；④，，则称构成一个群.下列选项对应的构成一个群的是（    ） A．集合G为自然数集，“”为整数的加法运算 B．集合G为正有理数集，“”为有理数的乘法运算 C．集合(i为虚数单位)，“”为复数的乘法运算 D．集合，“”为求两整数之和被7除的余数 3．（2018·北京·高三开学考试）设是一个非空集合,是定义在上的一个运算,如果同时满足下述四个条件： （i）对于,都有; （ii）对于,都有; （iii）对于,使得; （iv）对于,使得（注：“”同（iii）中的“”）. 则称关于运算构成一个群,现给出下列集合和运算： 是整数集合,为加法;    是奇数集合,为乘法; 是平面向量集合,为数量积运算;    是非零复数集合,为乘法. 其中关于运算构成群的序号是 （将你认为正确的序号都填上）. ③“”运算 1．（2023·全国·高三专题练习）在上的定义运算，则满足的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高三专题练习）设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，．对于任意集合，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023秋·高一课时练习）在实数集R中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：（1）对任意，；（2）对任意a，，；（3）对任意a，b，，.给出下列三个结论： ①； ②对任意a，b，，； ③存在a，b，，； 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．② B．①③ C．②③ D．①②③ ④“”运算 1．（2023·全国·高三专题练习）对于任意的两个实数对和,规定当且仅当,；运算“”为：， 运算“”为：， 设，若则 A． B． C． D． 2．（2023·高一课时练习）定义集合运算：A⊙B＝﹛z|z=xy(x+y)，x∈A,y∈B﹜.设集合A=﹛0，1﹜，B=﹛2，3﹜，则集合A⊙B的所有元素之和为（　） A．0 B．6 C．12 D．18 3．（2023·高一课时练习）对于任意两个正整数，，定义运算⊕如下： ①当，奇偶性相同时，； ②当，奇偶性不同时，． 若集合，则的元素个数为 ． 4．（2023·全国·高三对口高考）非空集合G关于运算满足：（1）对任意，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称G关于运算为“融洽集”．现给出下列集合和运算： ①{非负整数}，为整数的加法； ②{偶数}，为整数的乘法： ③{平面向量}，为平面向量的加法； ④{二次三项式}，为多项式的加法； ⑤{虚数}，为复数的乘法 其中G关于运算为“融洽集”的是 ．（写出所有“融洽集”的序号） ⑤戴德金分割 1．（多选）（2022秋·山西运城·高一山西省运城中学校期中）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的