专题二.列举法解决问题-【通城学典】2024年五年级数学暑期升级训练（苏教版）

不经一番寒彻骨,怎得梅花扑鼻香。———[唐]黄檗禅师 采蜜角 23 专题二 列举法解决问题 列举法解题就是将事件发生的所有可能情况都列举出来,然后对列举出的情况进行比较, 从而找到问题的答案。用列举法解决问题时,可以通过列表、画图等方法,将事件发生的所有 可能情况有条理地列举出来。列举时,要注意做到不重复、不遗漏。 类型一 用列举法解决数字出现的次数问题 例1 在1~200所有的自然数中,数字“2”一共 出现了多少次? 点拨:数字“2”在个位、十位、百位􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 上都有可能 出现,因此可以分类讨论,找出数字“2”在不同 数位上出现的规律。(1) 数字“2”出现在个位 上:在1~10中,数字“2”出现1次􀪍􀪍 ;在11~20 中,数字“2”出现1次􀪍􀪍 ;在21~30中,数字“2” 也出现1次􀪍􀪍 ……可以看出,数字“2”在个位上 时,每10个数中出现1次􀪍􀪍 ,200里一共有20个 10,因此数字“2”在个位上共出现20次􀪍􀪍 。(2) 数 字“2”出现在十位上:在20~29中,数字“2”出 现10次􀪍􀪍 ;在120~129中,数字“2”出现10次􀪍􀪍􀪍 , 因此数字“2”在十位上共出现20次􀪍􀪍 。(3) 数字 “2”出现在百位上:符合条件的只有200,即数字 “2”在百位上出现了1次􀪍􀪍 。 解答: 用列举法解决某个数字出现的次数问题 用列举法解决某个数字出现的次数问题时, 可以将该数字分别置于个位、十位、百位等,再列 举出每种情况中该数字出现的次数,最后将每种 情况中出现的次数相加即可。 类型二 用列举法解决行走路线问题 例2 如图,从甲地到乙地只允许向南和向东 走,且不能走重复路线,那么从甲地到乙地一 共有多少种不同的路线? 点拨:可将交叉点 􀪍􀪍􀪍􀪍 编号(如下图),要从甲地到 乙地,必须经过其中的某些点,只要按顺序 􀪍􀪍􀪍􀪍 一 一列举出来即可。 解答: 运用列举法解决行走路线问题 用列举法解决行走路线问题时,先依次对交 叉点进行编号,再根据线路图一一列举出行走的 路线。注意观察每个叉口有几条路可走。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 二 整合提优 答案讲解 采蜜角 三人行,必有我师焉。择其善者而从之,其不善者而改之。24 类型三 最佳方案问题 例3 有32人去划船,每只大船可坐5人,收费 10元/只;每只小船可坐3人,收费8元/只。 要想没有空座位,怎样租船最省钱? 点拨:要想知道怎样租船最省钱,可以把所有 可能的租船方案一一列举出来,求出每种方案 的租船费用后,再进行比较,从而找出最省钱 的方案。 方案一:租大船0只,可坐0×5=0(人),剩下 32人,32÷3=10(只)……2(人)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,需要租小船 10+1=11(只)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,此方案有空座位,不符合题 意,舍去。 方案二:租大船1只,可坐1×5=5(人),剩下 32-5=27(人)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,需要租小船27÷3=9(只), 租船费用为1×10+9×8=82(元)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。 方案三:租大船2只,可坐2×5=10(人),剩下 32-10=22(人),22÷3=7(只)……1(人)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,需 要租小船7+1=8(只)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,此方案有空座位,不 符合题意,舍去。 方案四:租大船3只,可坐3×5=15(人),剩下 32-15=17(人),17÷3=5(只)……2(人)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,需 要租小船5+1=6(只)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,此方案有空座位,不 符合题意,舍去。 方案五:租大船4只,可坐4×5=20(人),剩下 32-20=12(人),需要租小船12÷3=4(只)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 , 租船费用为4×10+4×8=72(元)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。 方案六:租大船5只,可坐5×5=25(人),剩下 32-25=7(人),7÷3=2(只)……1(人)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,需要 租小船2+1=3(只)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,此方案有空座位,不符 合题意,舍去