2.5.1 直线与圆的位置关系-【高效课堂】2023-2024学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）

2.5.1 直线与圆的位置关系 LET’S START #复习回顾 圆的标准方程： 圆心(a,b)，半径 r (x-a)2+(y-b)2=r2 圆的一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F=0 圆心(,) 半径 r= 我们学习了直线的方程、圆的方程，以及用方程研究两条直线的位置关系.下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆、圆与圆的位置关系. 引言 ※ 思考 直线与圆有几种位置关系？ 图形 位置 关系 相交 相切 相离 思考 如何判断直线与圆的关系？ 相交 相切 相离 交点个数不同 圆心到直线距离不同 一、直线与圆的位置关系 图形 位置关系 交点个数 圆心到直线的距离 相交 相切 相离 两个交点 一个交点 没有交点 d<r d=r d>r 思考 类比用方程研究两条直线位置关系的方法，请用方程研究直线与圆的位置关系。 两直线的位置关系 方程组解的情况 联立两直线方程 直线与圆的位置关系 方程组解的情况 联立两直线方程 题型一 直线与圆的位置关系 例1 已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线 l 与圆C的位置关系；如果相交，求直线 l 被圆C所截得的弦长. 例1 已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线 l 与圆C的位置关系；如果相交，求直线 l 被圆C所截得的弦长. 还有没有其他判断直线与圆位置关系的方法？ 题型一 直线与圆的位置关系 例1 已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线 l 与圆C的位置关系；如果相交，求直线 l 被圆C所截得的弦长. 解法2：圆C的方程x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5， 因此圆心C的坐标为(0,1)，半径为， 圆心C(0,1)到直线l的距离. 所以，直线l与圆C相交，有两个公共点. 如图，由垂径定理，得. x y O C d r 题型一 直线与圆的位置关系 ·小结· 判断直线与圆位置关系的方法 法一：联立方程组 法二：计算圆心到直线的距离d 两组解 一组解 无解 d < r d = r d > r 两个公共点 相交 一个公共点 相切 没有公共点 相离 练习巩固 练习1 (多选题)过点的直线 l 与圆x2+y2=1有公共点，则直线 l 的斜率可以是( ) A. B.2 C. D. A D 【分析】直线与圆有公共点 = 直线与圆相切或相交 题型二 直线与圆的相切问题 例2 过点P(2,1)作圆O：x2+y2=1 的切线 l，求切线 l 的方程. x y O P 思考：过点P作圆的切线，可以作几条？ 题型二 直线与圆的相切问题 例2 过点P(2,1)作圆O：x2+y2=1 的切线 l，求切线 l 的方程. x y O P 解法1：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y-1=k(x-2)， 即kx-y+1-2k=0. 由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1， 得， 解得k=0或. 因此，所求切线l的方程为y=1，或4x-3y-5=0. 题型二 直线与圆的相切问题 x y O P 解法2：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y-1=k(x-2)， 因为直线l与圆相切，所以方程组 只有一组解，消元，得(k2+1)x2+(2k-4k2)x+4k2-4k=0， 因为方程只有一个解， 所以∆=4k2(1-2k)2-16k(k2+1)(k-1)=0 解得k=0或. 因此，所求切线l的方程为y=1，或4x-3y-5=0. 例2 过点P(2,1)作圆O：x2+y2=1 的切线 l，求切线 l 的方程. ·小结· 过某点的切线条数： A A A 点在圆内 点在圆上 点在圆外 没有切线 1条切线 2条切线 在某点的切线条数： A 1条切线 ·小结· 过点(x0 , y0)的切线方程： 法一：①联立直线与圆的方程； ②消元，得到一个一元二次方程； ③令∆=0，解k； ④将k代回直线方程. 当切线斜率存在时，设切线方程为y-y0=k(x-x0) 法二：①计算圆心到直线的距离d； ②令d=r，解k； ③将k代回直线方程. ·小结· 已知切点为(x0 , y0)的切线方程： 圆的方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 半代入法： 切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2 练习巩固 练习2 求圆Q: x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程. 课堂小结 图形 位置关系 交点个数 圆心到直线的距离 相交 相切 相离 两个交点 一个交点 没有交点 d<r d=r d>r $$