2.4.2 圆的一般方程-【高效课堂】2023-2024学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）

2.4 圆的方程 2.4.2 圆的一般方程 LET’S START 思考 我们知道，方程(x-1)2+(y+2)2=4表示以(1,-2)为圆心，2为半径的圆，可以将此方程变形为x2+y2-2x+4y+1=0. 一般地，圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2可以变形为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (1) 的形式. 反过来，形如(1)的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？ 问题探究 对方程x2+y2-2x-4y+6=0进行配方，得 (x-1)2+(y-2)2=-1， 例如，对于方程x2+y2-2x-4y+6=0，请检验其能否变形为圆的标准方程. 任意一个点的坐标(x,y)都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形. 所以，形如(1)的方程不一定都能通过恒等变形变为圆的标准方程. 思考 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的D，E，F满足什么条件时，这个方程才表示圆的方程？ 问题探究 将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方，得 ① 问题探究 当D2+E2-4F=0时，方程①只有一组解，所以方程①只表示一个点. 将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方，得 ① 问题探究 当D2+E2-4F<0时，方程①无解，不表示任何图形. 将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方，得 ① 一、圆的一般方程 我们把方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，其中 D2+E2-4F>0 . 圆心坐标： 半径： 练习巩固 判断： (1)方程2x2+y2-7y+5=0表示圆. （ ） (2)方程x2-xy+y2+6x+7y=0表示圆. （ ） (3)方程x2+y2+x+1=0表示圆. （ ） (4)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆，则E≠0. （ ） × × × √ 练习巩固 例1 求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 【分析】将点O，M1，M2的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程. 练习巩固 例1 求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 解: 设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0 因为O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)都在圆上，分别代入圆的方程， 得 解得 所以，圆的方程为x2+y2-8x+6y=0， 圆心为(4,-3)，半径为5. ·小结· 求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组； (3)解出a,b,r或D,E,F，得到标准方程或一般方程. 思考 点M0(x0,y0)在圆C的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0内的条件是什么？在圆外的条件是什么？ C C C M0 M0 M0 x2+y2+Dx+Ey+F<0 x2+y2+Dx+Ey+F=0 x2+y2+Dx+Ey+F>0 在圆内 在圆上 在圆外 练习巩固 例2 判断下列各点与圆的位置关系： (1) 点(1,2)，圆: x2+y2-2x-5=0； (2) 点(3,-4)，圆: x2+y2+2x-4y-4=0； (3) 点(1,1)，圆: x2+y2-2x=0 点在圆内 点在圆外 点在圆上 练习巩固 例3 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 分析:如图，点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程. 建立点M与点A坐标之间的关系，就可以利用点A的坐标所满足的关系式得到点M的坐标满足的关系式，求出点M的轨迹方程. A M B O x y 练习巩固 A M B O x y 解: 设点M(x,y)，点A(x0,y0) 因为点B(4,3)，且M是线段AB的中点， 所以 得x0=2x-4，y0=2y-3 因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动， 所以有(x0+1)2+y02=4，所以有 (2x-4-1)2+(2y-3)2=4, 整理得，这就是点M的轨迹方程， 它表示以为圆心，半径为1的圆. ·小结· 求轨迹方程的一般步骤： （1）建立适当坐标系，设所求动点M的坐标(x,y) （2）利用点M的坐标(x,y)尽可能地表示出题中其他未知点的坐标 （3）根据已知条件，列出x，y的方程 （4）将上述方程化简 （5）作答，检验 求谁设谁 练习巩固 练习 过原点O的作圆x2+y2-8x=0的弦OA，求弦OA中点M的轨迹方程. O A M 分析：所求动点：M 相关点：A 练习巩固 解: 设点M(x,y)，点A(x0,y0) （x0≠0,y0≠0） 因为M是线