5.3.2.1函数的极值 教案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

§5.3.2.1函数的极值 一、教材分析 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第五章《一元函数的导数及其应用》，本节课主要学习函数的极值。 学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备。函数的极值是函数的一个重要性质。在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究和学习函数的极值是导数的一个重要应用，注意培养学生数形结合思想、特殊到一般的研究方法，发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养。 二、教学目标 1.了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值与导数的关系； 2.初步掌握求函数极值的方法； 三、教学重难点 1.重点：求函数极值； 2.难点：函数极值与导数的关系。 四、教学过程 1.复习引入 （1）导数的几何意义是什么? （2）函数的单调性与其导函数正负的关系？ 如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？ 2.探究新知 问题1 图一是某跳水运动员的重心相对于水平面高度h随时间的变化图像，当时，跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在点处的导数是多少？ 图一 分析得. 追问:点附近的函数图象有什么特点呢？对应导数的符号有什么变化规律？ 问题2：对于一般的函数，是否具有同样的性质？如图二，函数在点处的函数值与该点附近的函数值有什么关系？的导数的正负性有什么规律？ 图二 函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都小。 当时,,函数单调递减； 当时,； 当时,,函数单调递增。 三、讲授新知 1.函数在点处的函数值比它在点附近的其他点处的函数值小,且在点附近的左侧,右侧.我们把函数的极小值点,叫做函数的极小值； 2.函数在点处的函数值比它在点附近的其他点处的函数值大, 且在点附近的左侧右侧.我们把叫做函数的极大值点,叫做函数的极大值； 3.极小值点与极大值点统称为极值点,极小值与极大值统称为极值。 追问：图二中的函数有哪些极值点？ 极大值点： 极小值点： 极大值：、 极小值：、、 追问：极大值一定大于极小值吗？ 图三 如图三所示： 极大值点： 极小值点： 极大值：、、 极小值：、 因为，所以极大值不一定大于极小值。 四、例题讲解 例1 (多选)若函数f(x)的导函数的部分图象如图四所示，则(　　) A．x1是f(x)的一个极大值点 ( 图四 )B．x2是f(x)的一个极小值点 C．x3是f(x)的一个极大值点 D．x4是f(x)的一个极小值点 答案：AB 例2 求下列函数的极值：f(x)＝x3－3x2－9x＋5。 解： (1)函数＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3. 当x变化时，，的变化情况如下表： 因此，x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝10；x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－22. 求极值的步骤： 1.确定函数的定义域; 2.求导数; 3.求方程的根； 4.方程将函数整个定义域分成若干个小开区间，把,f的变化情况并列成表格； 5.判断得结论：如果在附近的左侧右侧,那么极大值；如果在附近的左侧右侧,那么极小值；如果左右不改变符号，则无极值。 五、巩固练习 求下列函数的极值： (1)y＝2x＋；(2)y＝x3(x－5)2. 六、课堂小结 一、函数极值的定义 1. 极小值点与极小值； 2. 极大值点与极大值； 3. 极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值。 二、求极值的步骤 1.定义域；2.求导数；3.解方程；4.列表格；5.写结论 三、极值说明 1.函数的极大值不一定大于极小值，且可能不存在极大值（极小值）。 2. 一般地，函数y＝f(x) 在一点处的导数值为0是函数y＝f(x) 在这点取极值的必要条件，而非充分条件。 七、课后作业 完成小师说课时作业十八。 $$