第66讲 抛物线的标准方程与性质-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第66讲 抛物线的标准方程与性质 一、抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 二 、抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线 　 　 范围 开口方向 焦半径(其中P(x0，y0)) 三 、 与焦点弦有关的常用结论 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)y1y2＝－p2，x1x2＝. (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)． (3)＋为定值. (4)以AB为直径的圆与准线相切． 1、（2022•乙卷（文））设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则　　 A．2 B． C．3 D． 2、【2022年全国乙卷】设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（       ） A．2 B． C．3 D． 3、（2021•新高考Ⅱ）若抛物线的焦点到直线的距离为，则　　 A．1 B．2 C． D．4 4、【2020年新课标1卷理科】已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（       ） A．2 B．3 C．6 D．9 5、（2023•乙卷（文））已知点在抛物线上，则到的准线的距离为 ． 6、（2021•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且．若，则的准线方程为 ． 1、抛物线y＝2x2的准线方程为(　　) A．y＝－ B．y＝－ C．y＝－ D．y＝－1 2、抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为（ ） A． B． C． D． 3. (多选)(2022·常德一模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，则下列结论中正确的是(　　) A. 焦点F的坐标为(1，0) B. 过点A(－1，0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点 C. 直线x＋y－1＝0与抛物线C相交所得弦长为8 D. 抛物线C与圆x2＋y2＝5交于M，N两点，则MN＝4 4. (2022·青岛二中高三期末)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，直线l：x＝2交抛物线C于P，Q两点，且OP⊥OQ，则抛物线C的方程为________． 考向一　抛物线的定义及其应用 例1　(1)已知抛物线定点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线x－y＋2＝0上，则抛物线方程为____． (2)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为____． 变式1、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的任意一条直线m，交抛物线于P1，P2两点，求证：以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切． 方法总结：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化． (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决． 考向二 抛物线的标准方程及其几何性质 例2、顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是________________________． 变式1、　已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过点F的直线与抛物线的两个交点，求证： (1) y1y2＝－p2，x1x2＝； (2) ＋为定值； (3) 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 变式2、（1）设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为(　　) A.x＝－4 B.x＝－3 C.x＝－2 D.x＝－1 （2）(2022·广州模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，点P(4，y0)在抛物线上，K为l与y轴的交点，且|PK|＝|PF|，则y0＝________，p＝________. 方法总结：1．求抛物线标准方程的方法 (1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可． (2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．