4.2.1等差数列的概念 教案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1等差数列的概念 一、教材分析 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章第2节第1小节(第一课时)，主要学习等差数列的概念和通项公式. 按照新课标要求：通过生活中具体实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题；体会等差数列与一元一次函数的关系. 教材借助生活中丰富的典型实例，让学生通过观察、分析、推理、讨论、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义与通项公式知识的生成过程. 数列是一种特殊的函数，与函数思想密不可分，而等差数列作为数列部分的主要内容，它起着承前启后的作用，是学生探究特殊数列的开始，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，同时培养学生抽象概括、逻辑推理、数学运算的能力. 同学们在学习后续内容时，会感受到无论在知识上，还是在方法上这节的学习都具有积极的意义. 二、学情分析 高二的学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，以及对函数和方程思想有所体会，也能够应用数学公式解决简单问题，但是他们的思维仍然需要依赖具体实例来理解并抽象出数学概念. 经过前一节数列的概念学习，学生对数列的知识有了初步的接触和认识，具备了一定的理论基础，但学生基础较弱，逻辑推理、抽象概括和数学运算能力有所欠缺. 因而，课堂上会注意教学的节奏，同时注重从具体的生活实例引导和启发学生，促进学生思维能力的进一步发展. 三、教学目标 1. 通过实例抽象出等差数列的定义，了解等差中项的定义及性质，发展数学抽象的核心素养； 2.了解掌握等差数列通项公式的推导过程，体会等差数列通项公式与一次函数的关系，培养学生逻辑推理、数学运算能力. 四、教学重难点 1.教学重点 等差数列的定义及其通项公式； 2.教学难点 等差数列的通项公式的推导. 五、教学过程 1.复习导入 （1）数列的定义是什么？ 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数叫做数列. （2）数列的通项公式的定义是什么？ 如果数列的第项与它的序号之间对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. （3）数列的递推公式的定义是什么？ 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做数列的递推公式. 2.探究新知 探究一 等差数列的概念 问题1观察下面几个问题中的数列，你能发现什么取值规律？ （1）北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81.① （2）S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是 38，40，42，44，46，48.② （3）测量某地垂直地面方向上海拔500 m以下的大气温度，得到从距离地面20 m起每升高100 m处的大气温度（单位：℃）依次为 25，24，23，22，21.③ 对于①，发现,换一种写法是,.如果用表示数列①，那么有, … ,. 这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 数列②③也有这样的取值规律. 等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示. 例如，数列①的公差. 等差数列的符号语言： . 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中项. 根据等差数列的定义可以知道，. 探究二 等差数列的通项公式 问题2 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 设一个等差数列的首项为，公差为d. 根据等差数列的定义，可得，所以 于是 ， ， ， …… 归纳可得. 当时，上式为. 这就是说，上式当时也成立. 因此，首项为，公差为d的等差数列的通项公式为. 教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？ 还可以用累加法，过程如下： ∵a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d，… an－an－1＝d(n≥2)， 将上述(n－1)个式子相加得 an－a1＝(n－1)d(n≥2)， ∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)， 当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式， ∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)． 探究三 等差数列与一次函数的关系 问题3观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 由于，所以当时，等差数列的第项是一次函数当时的函数值，即. 如图，在平面直角坐标系中画出函数的图象，就得到一条斜率为d，截距为的直线. 在这条直线上描出点就得到了等差数列的图象. 事实上，公差的等差数列的图象是点组成的集合，这些点均匀分布