7.5正态分布 教案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.5正态分布 一、教材分析 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》第七章《随机变量及其分布列》的第五节，主要学习正态分布.前面学习了离散型随机变量，离散型随机变量的取值是可列的，而连续型随机变量是在某个区间内可取任何值，其重要的代表是正态分布.《正态分布》该节内容通过研究频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线，引出拟合的函数式，进而得到正态分布的概念，然后分析正态曲线的特点和性质，最后研究了它的应用——随机变量落在某个区间的概率.正态分布是描述随机现象的一种最常见的分布，在现实生活中有非常广泛的应用. 二、学情分析 学生学习了统计与概率的相关知识，能够画出所给数据的频率分布直方图和频率分布折线图，并根据频率分布直方图和频率分布折线图初步分析数据的分布规律，具有一定的统计思想，大部分学生会用数形结合思想方法研究一些简单的数学问题，能够收集、整理和分析一些简单的统计问题，但是本节课需要学生由离散型随机变量过渡到连续型随机变量，由离散型随机变量的分布列得到连续型随机变量的分布密度函数，这对学生来说是一个挑战，如何认识正态曲线的特点及其表示的意义也是学习的难点.因而，课堂上会注意教学的节奏，同时注重从具体的生活实例引导和启发学生，促进学生思维能力的进一步发展. 三、教学目标 1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特点，发展学生数学抽象和逻辑推理的核心素养; 2.了解正态分布的均值、方差及其含义；了解原则,会求随机变量在特殊区间内的概率，培养学生数学运算的能力. 四、教学重难点 1.教学重点：认识分布曲线的特点及曲线所表示的意义，了解原则； 2.教学难点：会求随机变量在特殊区间内的概率. 五、教学过程 1.复习引入 两点分布、二项分布、超几何分布的定义. 2.探究新知 现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量，不是离散的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续性随机变量，下面我们看一个具体问题. 探究1:自动流水线包装的食盐,每袋标准质量为400g.由于各种不可控的因素,任意抽取一袋食盐,它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用X表示这种误差,则X是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中, 随机抽取了100袋食盐,获得误差X(单位:g)的观测值如下: (1)如何描述这100个样本误差数据的分布? (2)如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布? 可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布,如图1所示.频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率,所有小矩形的面积之和为1. 图1 观察图形，误差观测值有正有负,并大致对称地分布在的两侧,而且小误差比大误差出现得更频繁.随着样本数据量越来越大,让分组越来越多,组距越来越小,由频率的稳定性可知,规率分布直方图的轮廓就越来越稳定,接近一条光滑的钟形曲线,如图2所示.图3 图2 根据频率与概率的关系，可用以用上图3中的钟型曲线来描述袋装食盐质量误差的概率分布.任意抽取一袋盐，误差落在内的概率，可以用图中黄色阴影部分的面积表示. 问题：由函数知识可知，图中的钟形曲线是一个函数，那么，这个函数是否存在解析式呢？ 图4 在数学家的不懈努力下，找到了以下刻画随机误差分布的解析式： 其中为参数. 对任意的,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1,我们称为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如图4所示. X取值不超过的概率为图6区域A的面积，而为图6区域B的面积. 正态分布的定义：若随机变量X的概率分布密度函数为, 则称随机变量X服从正态分布,记为,特别地,当时,称随机变量X服从标准正态分布. 探究2：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？ μ x 其中μ∈R，＞0为参数. 由X的密度函数及图像可以发现，正态曲线有以下特点： （1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； （3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)； （4）当|X|无限增大时，曲线无限接近x轴； （5）X轴与正态曲线所夹面积恒等于1. 探究3：观察正态曲线、相应的密度函数及概率的性质 图6 图5 你能发现正态曲线的哪些特点？ （1）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； （2）当μ一定时，曲线的形状由确定, 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 正态分布的期望和方差 参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度。 正态分布的原则 假设