选修4-4 第一节 坐标系（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

选修4－4 坐标系与参数方程 第一节　坐标系 课程标准 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况． 2．了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程． 1 定点 射线 角度单位 长度单位 距离|OM| M(ρ，θ) 这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 4．简单曲线的极坐标方程 “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（五十九）” (单击进入电子文档) 20 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个_____O，叫做极点；自极点O引一条_____Ox，叫做极轴；再选定一个_________、一个_________(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标 ①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的_________叫做点M的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为_________． 一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． ④极坐标与直角坐标的重要区别：多值性． 3．极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为： 曲线 极坐标方程 圆心为极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π) 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos θ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsin θ(0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R) 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a 过点，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a(0<θ<π) 命题视角一　平面直角坐标系中的伸缩变换自主练通 1．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形． (1)5x＋2y＝0；(2)x2＋y2＝1. 解：由伸缩变换可得 (1)若5x＋2y＝0，则5(2x′)＋2(3y′)＝0，所以5x＋2y＝0经过伸缩变换后的方程为5x′＋3y′＝0，为一条直线． (2)若x2＋y2＝1，则(2x′)2＋(3y′)2＝1， 所以x2＋y2＝1经过伸缩变换后的方程为4x′2＋9y′2＝1，为椭圆． 2．求椭圆＋y2＝1经过伸缩变换后的曲线方程． 解：由得到 ① 将①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1. [一“点”就过] 平面直角坐标系下图形的变换技巧 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．　　 命题视角二　极坐标与直角坐标的互化 [典例]　在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1(0≤θ＜2π)，M，N分别为C与x轴，y轴的交点． (1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标； (2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程． [解]　(1)由ρcos＝1， 得ρ＝1. 从而C的直角坐标方程为x＋y＝1， 即x＋y－2＝0. 当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)． 当θ＝时，ρ＝，所以N. (2)M点的直角坐标为(2,0)， N点的直角坐标为， 所以P点的直角坐标为， 则P点的极坐标为. 所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)． [方法技巧] 直角坐标化为极坐标的注意点 (1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个． 当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M的极坐标是唯一的． (2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值．　　 [针对训练] 在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝. (1)求圆O和直线l的直角坐标方程； (2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的一个极坐标． 解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ， 即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 所以圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y， 即x2＋y2－x－y＝0. 直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 所