第十二章 第二节 直接证明与间接证明、数学归纳法（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第二节　直接证明与间接证明 课程标准 1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点. 2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程和特点. 内容 综合法 分析法 定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的__________，最后推导出所要证明的结论_____ 从要证明的_____出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止 实质 由因导果 执果索因 [由教材回扣基础] 1．直接证明 推理论证 成立 结论 充分条件 续表 2.间接证明 反证法：假设命题________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出______．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法． 不成立 矛盾 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　 答案：B　 答案：A　 答案：B 答案：C　 [方法技巧]　综合法证题的思路 “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（五十七）” (单击进入电子文档) 24 实质 由因导果 执果索因 框图 表示 →→…→ →→… → 文字 语言 因为…所以… 或由…得… 要证…只需证…即证… [练小题巩固基础] 一、准确理解概念(判断正误) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明． (　 ) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　 ) (3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a≤b”． (　 ) (4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾． (　 ) 二、练牢教材小题 1．(北师大版选修2－2例5改编)要证明＋<2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是 (　 ) A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．归纳法 解析：从要证明的结论——比较两个无理数的大小出发，证明此类问题通常转化为比较有理数的大小，这正是分析法的证明方法．故选B. 2．(人教A版选修2－2 P89 T2改编)若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是 (　 ) A．P>Q B.P＝Q C．P<Q D.不能确定 解析： P2＝(＋)2＝2a＋13＋ 2，Q2＝(＋)2＝ 2a＋13＋2， ∵a≥0，∴P2>Q2，∴P>Q.故选A. 3．(人教B版选修2－2 P67例4改编)用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是 (　 ) A．假设至少有一个钝角 B．假设至少有两个钝角 C．假设没有一个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 解析：注意到：“至多有一个”的否定应为“至少有两个”．故选B. 三、练清易错易混 1．(寻找条件不充分)分析法又称执果索因法，已知x>0，用分析法证明<1＋时，索的因是 (　 ) A．x2>2 B．x2>4 C．x2>0 D．x2>1 解析：因为x>0，所以要证 <1＋，只需证()2<2，即证0<，即证x2>0，因为x>0，所以x2>0成立，故原不等式成立． 答案：≥2且≥2 2．(否定出错)利用反证法证明“已知a>0，b>0，且a＋b>2，证明，中至少有一个小于2”时的反设是________． 解析：假设，都不小于2，即≥2且≥2. 命题视角一　直接证明 方法(一)　综合法　 [例1]　(2022·泰安模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)，其中m为常数且m≠－3，m≠0. (1)求证：数列{an}是等比数列； (2)若数列{an}的公比满足q＝f(m)且b1＝a1，bn＝f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求证为等差数列，并求bn. [证明]　(1)因为(3－m)Sn＋2man＝m＋3，所以(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3，两式相减，得(3＋m)an＋1＝2man(m≠－3)，所以＝为常数，所以{an}是等比数列． (2)由(3－m)a1＋2ma1＝m＋3， 得(m＋3)a1＝m＋3， 因为m≠－3，所以a1＝1，b1＝1， 因为数列{an}的公比满足q＝f(m)＝，bn＝f(bn－1)，所以bn＝·， 所以－＝，所以为1为首项，为公差的等差数列，所以＝，所以bn＝. 方法(二)　分析法　 [例2]　设a>0，b>0，且a≠b，用分析法证明a3＋b3>a2b＋ab2. [证明]　要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，只需证a3＋b3－a2b－ab2>0成立，即证a2(a－b)＋b2(b－a)>0成立，即证(a2－b2)(a－b)>0成立，也就是要证(a＋