选修4-5 第二节 不等式的证明（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第二节　不等式的证明 课程标准 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法，培养逻辑推理和数学运算的核心素养. 1．基本不等式 2ab a＝b a＝b a＝b＝c (ac＋bd)2 ad＝bc α，β共线时 3．证明不等式的方法 综合法 一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的、_____________而得出命题成立 分析法 从___________出发，逐步寻求使它成立的_________，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立 反证法 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立 放缩法 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的 充分条件 要证的结论 推理、论证 类型 解题策略 求表达式的最值 依据已知条件，利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件 求解析式的值 利用柯西不等式的条件，注意等号成立的条件，进而求得各个量的值，从而求出解析式的值 证明不等式 注意所证不等式的结构特征，寻找柯西不等式的条件，然后证明 “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（六十二）” (单击进入电子文档) 18 定理1 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥_____，当且仅当_____时，等号成立 定理2 如果a，b＞0，那么≥_____，当且仅当_____时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均 定理3 如果a，b，c∈R＋，那么≥______，当且仅当_________时，等号成立 2.柯西不等式 (1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥_________，当且仅当_______时等号成立． (2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则当且仅当＝＝…＝(当ai＝0时，约定bi＝0，i＝1,2，…，n)时等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥____，当且仅当___________等号成立． |α·β| 命题视角一　综合法与分析法证明不等式 [典例]　已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2. [证明]　法一：综合法 (1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 ＝2＋3ab(a＋b)≤2＋·(a＋b) ＝2＋，当且仅当a＝b＝1时，等号成立， 所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2. 法二：分析法 (1)因为a>0，b>0，a3＋b3＝2. 要证(a＋b)(a5＋b5)≥4，只需证(a＋b)(a5＋b5)≥(a3＋b3)2，即证a6＋ab5＋a5b＋b6≥a6＋2a3b3＋b6，即证a4＋b4≥2a2b2.因为(a2－b2)2≥0，所以a4＋b4≥2a2b2成立．故原不等式成立． (2)要证a＋b≤2成立，只需证(a＋b)3≤8， 即证a3＋3a2b＋3ab2＋b3≤8，即证ab(a＋b)≤2， 即证ab(a＋b)≤a3＋b3， 即证ab(a＋b)≤(a＋b)(a2－ab＋b2)， 即证ab≤a2－ab＋b2，显然成立．故原不等式成立． [方法技巧] 用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清晰，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤．由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提．　　 [针对训练] (2022·全国乙卷)已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝1，证明： (1)abc≤； (2)＋＋≤. 证明：(1)因为a，b，c都是正数，1＝a＋b＋c≥3＝3， 所以abc≤， 当且仅当a＝b＝c＝时等号成立． (2)由基本不等式得b＋c≥2， 所以≤， 同理得≤，≤ . 利用不等式的性质得 ＋＋≤＋＋ ＝＋＋＝ ＝，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立． 命题视角二　放缩法证明不等式 [典例]　若a，b∈R，求证：≤＋. [证明]　当|a＋b|＝0时，不等式显然成立． 当|a＋b|≠0时， 由0<|a＋b|≤|a|＋|b|⇒≥， 所以＝≤ ＝＝＋ ≤＋. [方法技巧] “放”和“缩”的常用技巧 (1)变换分式的分子和分母，如<，>，<，>.其中k∈N*，k>1. (2)利用函数的单调性