第八章 第五节 立体几何中的综合问题（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第五节　立体几何中的综合问题 命题视角一　平行与垂直的综合问题 [方法技巧] 有关立体几何综合问题的解题方法 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． (2)垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行，垂直的性质及判定的综合应用．　　 [方法技巧] 折叠问题的求解策略 (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，长度是不变量，而位置关系往往会发生变化． (2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．进而将其转化为立体几何的常规问题求解．　　 [方法技巧] 解决探索性问题的方法 (1)对命题条件的探索的三种途径 ①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明； ②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性； ③将几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件． (2)对命题结论的探索方法 从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论．　　 “课时跟踪检测” 见“课时跟踪检测” （四十） (单击进入电子文档) 22 [典例]　(2022·全国甲卷)小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直． (1)证明：EF∥平面ABCD； (2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度)． [解]　(1)证明： ∵四边形ABCD是正方形，△EAB和△FBC是正三角形， ∴分别取AB，BC的中点K，I，连接EK，FI，KI，则EK⊥AB，FI⊥BC，如图． ∵平面EAB⊥平面ABCD，平面EAB∩平面ABCD＝AB，EK⊂平面EAB，∴EK⊥平面ABCD.同理FI⊥平面ABCD， ∴EK∥FI.易知△EAB≌△FBC，∴EK＝FI， ∴四边形EKIF是平行四边形，∴EF∥KI. 又∵EF⊄平面ABCD，KI⊂平面ABCD， ∴EF∥平面ABCD. (2)可补形成长方体，如图，易得长方体的高为4 cm.故所求包装盒的容积V＝82×4－4×××42×4＝(cm3)． [针对训练] (2023·广州模拟)如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，BC＝EF＝1，AE＝，DE＝3，∠BAD＝60°，G为BC的中点． (1)求证：FG∥平面BED； (2)求证：BD⊥平面AED； (3)求点F到平面BED的距离． 解：(1)证明：如图，取BD的中点O，连接OE，OG. 在△BCD中，因为G是BC的中点，所以OG∥DC且OG＝DC＝1.因为EF∥AB，AB∥DC，EF＝1，所以EF∥OG且EF＝OG， 所以四边形OGFE是平行四边形，所以FG∥OE. 又FG⊄平面BED，OE⊂平面BED， 所以FG∥平面BED. (2)证明：在△ABD中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，由余弦定理，得 BD＝ ＝. 所以BD2＋AD2＝AB2，所以BD⊥AD. 因为平面AED⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 平面AED∩平面ABCD＝AD， 所以BD⊥平面AED. (3)由(1)知FG∥平面BED，所以点F到平面BED的距离等于点G到平面BED的距离．设点G到平面BED的距离为h，如图，过点E作EM⊥DA，交DA的延长线于点M， 连接DG，EG，则EM⊥平面ABCD，所以EM是三棱锥E­DBG的高．由余弦定理，得cos∠ADE＝＝，所以sin∠ADE＝，所以EM＝DE·sin∠ADE＝.易知DB⊥BC，BD⊥DE，所以S△DBG＝BD·BG＝，S△BDE＝BD·DE＝.由V三棱锥G­BDE＝V三棱锥E­DBG，即S△BDE·h＝S△DBG·EM，解得h＝.所以点F到平面BED的距离为. 命题视角二　翻折问题 [典例]　图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2. (1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； (2)求图2中的四边形ACGD的面积． [解]　(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，所以AD，CG确定一个平面， 从而A，C，G，D四点共面． 由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B， 所以AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC， 所以平面ABC⊥平面BCGE. (2)取CG的中点M，连接EM，DM.因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE， 所以DE⊥CG. 因为四边形BC