第八章 第四节 直线、平面垂直的判定与性质（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第四节　直线、平面垂直的判定与性质 课程标准 1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理． 2 .能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形中垂直关系的简单命题． [由教材回扣基础] 1．直线与平面垂直 (1)定义：直线l与平面α内的______一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． 任意 (2)判定定理与性质定理 相交 平行 a，b⊂α a∩b＝O l⊥a l⊥b a⊥α b⊥α 2．直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的_____所成的_____叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是______；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是______. (2)范围：______. 射影 锐角 直角 0 3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的___________所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作________的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果所成的二面角是_________，就说这两个平面互相垂直． 两个半平面 垂直于棱 直二面角 (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 垂线 l⊥α l⊂β 相交 α⊥β l⊂β α∩β＝a l⊥a 澄清微点·熟记结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． [练小题巩固基础] 一、准确理解概念(判断正误) (1)若直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α. (　 ) (2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直． (　 ) (3)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b. (　 ) (4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α. (　 ) (5)a⊥α，a⊂β⇒α⊥β. (　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√ 答案：7 解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件． 答案：B　 [方法技巧]　面面垂直判定的两种方法与一个转化 两种方法 (1)面面垂直的定义； (2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β) 一个转化 在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直 [方法技巧] 求直线和平面所成角的步骤 (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线； (2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角； (3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．　　 [方法技巧]　求二面角大小的步骤(一作二证三求) “课时跟踪检测” 见“课时跟踪检测” （三十九） (单击进入电子文档) 35 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条_____直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线_____ ⇒a∥b 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的_____，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于_____,的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 二、练牢教材小题 1．(人教A版必修②P161T2改编)已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，以下能判定m⊥α的是 (　 ) A．α⊥β且m⊂β B．α∥β且m⊥β C．α⊥β且m∥β D．m⊥n且n∥α 答案：B 2．(新人教A版必修②P165T21改编)已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对． 解析：由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA ⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对． 答案：AB，BC，AC　AB 3.(新苏教版必修②P184T1改编)如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的