第九章 第三节 第2课时 圆的方程、直线与圆的位置关系（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第三节 第2课时 圆的方程、直线与圆的位置关系 [把脉考情] 常规 角度 1.圆的方程．主要考查圆的方程的求法，圆的最值问题． 2.直线与圆的位置关系．主要考查圆的切线方程、圆的弦长问题 创新 角度 1．与三角形(或四边形)结合求面积问题，与向量、三角函数交汇考查最值或范围问题． 2．圆与圆的位置关系近几年高考出现频繁． 3．第4题是开放性问题 [方法技巧] 1．求圆的方程的2种方法 (1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值. 2.确定圆心位置的方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上； (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线. [方法技巧] 求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证 代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证 答案：A “课时跟踪检测” 见“课时跟踪检测” （四十三） (单击进入电子文档) 31 1．(2020全国Ⅲ卷·考查导数的几何意义、直线与圆相切的应用)若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为 ( ) A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋ C．y＝x＋1 D．y＝x＋ 解析：设直线l在曲线y＝上的切点为(x0，)，则x0>0，函数y＝的导数为y′＝，则直线l的斜率k＝ . 设直线l的方程为y－＝(x－x0)， 即x－2y＋x0＝0. 由于直线l与圆x2＋y2＝相切，则＝， 两边平方并整理得5x02－4x0－1＝0， 解得x0＝1或x0＝－(舍去)， 所以直线l的方程为x－2y＋1＝0，即y＝x＋. 答案：D 2．(2020全国Ⅰ卷·考查弦长问题) 已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9. 设圆心为C，则C(3,0)，半径r＝3. 设点(1,2)为点A，过点A(1,2)的直线为l. 因为(1－3)2＋22＜9， 所以点A(1,2)在圆C的内部， 则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D. 易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小． 设此时圆心C到直线l的距离为d， 则d＝|AC|＝＝2， 所以|BD|min＝2＝2＝2， 即弦的长度的最小值为2，故选B. 答案：B 3．(2020全国Ⅰ卷·考查直线与圆的位置关系的判断、切线问题) 已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为 ( ) A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0 解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝4，点M到直线l的距离为d＝＝＞2，所以直线l与圆相离．由圆的知识可知，A，P，B，M四点共圆，且AB⊥MP，所以|MP|·|AB|＝4S△PAM＝4××|PA|×|AM|＝ 4|PA|，而|PA|＝，当直线MP⊥l时，|MP|min＝，|PA|min＝1，此时|MP|·|AB|最小．易知直线MP的方程为y－1＝(x－1)，即y＝x＋. 由解得所以以MP为直径的圆的方程为(x－1)(x＋1)＋y(y－1)＝0，即x2＋y2－y－1＝0，两圆的方程相减可得：2x＋y＋1＝0，即为直线AB的方程．故选D. 答案：D 4．(2022全国乙卷·考查圆的方程) 过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________． 解析：若圆过(0,0)，(4,0)，(－1,1)三点，设过这三点的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，分别将三点的坐标代入，可得解得易得D2＋E2－4F>0，所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13. 若圆过(0,0)