第三章 第二节 第4课时 难点专攻夺高分(一) 导数在不等式中的应用（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第4课时难点专攻夺高分（一） 导数在不等式中的应用 命题视角一利用导数证明不等式 考法（一）作差法构造函数证明不等式 [例1]己知函数fx)=ax十xnx在x=e(e为自然对数的底数)处取得极小值， (1)求实数a的值； (2)当心1时，求证：fx)>3(x一1). [解](I)因为fx)=x十xnx,所以f(x)=a十nx十1，因为函数fx)在x=e-2处 取得极小值，所以f(e-)=0,即a+lne-2+1=0,所以a=1,所以f(c)=nx十2.当 (x)>0时，x>e-2;当f(x)<0时，0<r<e-2,所以x)在(0，e-)上单调递减，在(e-2, +∞)上单调递增，所以fx)在x=e-2处取得极小值，符合题意，所以a=1. (2)证明：由(1)知a=1,所以fx)=x+xlnx.合g(x)=fx)一3(x-1),即g(x) =xlnx-2x十3>0).g'(x)=lnx-1,由g'(x)=0,得r=e.由g'(x)>0,得>e; 由g'(x)<0,得0<r<e.所以g(x)在(0，e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增，所 以g(x)在(1，十∞)上的最小值为g(e)=3一e>0.于是在(1，+∞)上，都有 gx)≥g(e)>0,所以x)>3x-1). 方法技巧 证明形如A(x)>B(x)的不等式的关键点 (I)构造新函数h(x)=A(x)一B(x): (2)求h'(x)=A'(x)-B'(x); (3)研究函数x)的单调性、极值、图象等（无法进行时，继续求导，研究 h'(x)的单调性、极值、图象等，仍然无法进行时，继续求导研究)： (④通过研究导数的性质，获得h(x)的性质，进而实现证明不等式A(x)>Bx) 的目标. 考法（二） 拆分法构造函数证明不等式 [例2]设函数fx)=ax2-(x+1)lnx, 曲线y=fx)在点(1,1)处切线的斜 率为0. (1)求a的值： (2)求证：当0<x≤2时，f [解(af(=2ax-n-1-由题意，得①=2a (2证明：()得=2-c+1nx,要证当0<≤2时，>2，只需证 当0≤2时，-n-ne即g-ne+令8g树)=-n,h)- +2令g'=1-=0,得x=1,易知g侧在0,1)上单调递减，在L,2上单调 超增，故当0<≤2时，=0=1.因为'付=n,当0<r≤2时， 1+ln2 h'心>0，所以hw)在(0,2上单调递增，故当0<x≤2时，hxma=h2)=2 <1,即)magmi故当0Kr≤2时，hg,即当0<x≤2时，f2 [方法技巧引 对于一些不等式可转化为fx)≥g(x)的形式，证明fx)min≥gx)max即可，在 转化中，一定要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最值分析为拆分标 淮。 考法（三） 特征分析放缩法证明不等式 [例3]已知函数fx)=x2-2lnx(a∈R). (1)若f2)是f)的极值，求a的值. 2若∫≥0，求证：当x∈02时，0是《-2+20恒成立. [解r(侧=2ax-名易知fa)=4u-1=0,解得a子又当a=时， r子-十2-2》，满足是的值.故a 2x 2证明了倒=2ax是若f(闺=2a-2≥0，则a≥1所以对---2e+2 为是--2+2_2-42-2_-2+2-20，令 2r3 2x =x2+2x+2-2e0<x<2,则h'(x)=2x+2-2e=2(x十1-e),令p(x)=x+ 1一e,则当x>0时，p'(x)=1一e<0,p(x)单调递减，p(x)<p(0)=0,所以 h(r)单调递减，h(x)<h(0)=0,即x2+2x+2-2e<0,所以当0<x<2时， -2是+2-200，版当∈02时，0-《-2十2>0恒成立. 2x [方法技巧 导数的综合应用题中，最常见就是e和x与其他代数式结合的难题，对 于这类问题，可以先对e和nx进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数 的正负.常见的放缩公式如下： (1)e≥1十x,当且仅当x=0时取等号； (2)e≥ex,当且仅当x=1时取等号： 3)当x≥0时，c≥1+x+,当且仅当x=0时取等号： ④当x≥0时，e>+1,当且仅当x=0时取等号： 5产≤n≤一1≤-x,当且仅当=1时取等号： O当≥1时，2《》≤≤品当且仅当x=1时取等号. [针对训练] 1.己知函数fx)=elnx一a.x(a∈R). (1)讨论fx)的单调性； (2)当a=e时，求证：xfx)-er+2er≤0. 解：((6)=是-a0,①若a≤0，则f6>0,)在0，+o)上单调 递增：②若>0，令f(w=0,得x=。,则当0<x时，(w>0:当时， f0故)在0，单调递增，在品+上单调递成