第九章 第九节 第3课时 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第3课时　题型上(二)　圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 命题视角一　圆锥曲线中的定点问题 圆锥曲线中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆过定点的问题(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步： 一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)． 二求：求出定点所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程． 三定点：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标． 命题视角二　圆锥曲线中的定值问题 圆锥曲线中的定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题．其求解步骤一般为： 一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等． 二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少变量的个数，使其只含有一个变量(或者有多个变量，但是能整体约分也可以)． 三定值：化简式子得到定值．由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关，故求出的式子必能化为一个常数，所以只需对上述式子进行必要的化简即可得到定值． [方法技巧] 圆锥曲线中定值问题的特点及2大解法 (1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值． (2)两大解法： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②引进变量法：其解题流程为 命题视角三　圆锥曲线中的存在性问题 存在性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在．若探究结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论． [方法技巧] 圆锥曲线中存在性问题的求解方法 (1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在． (2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．　 “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（五十二）” (单击进入电子文档) 23 [典例] (2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B两点． (1)求E的方程； (2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点． [解](1)∵椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)， ∴可设椭圆E的方程为＋＝1， 又椭圆E过B， ∴＋＝1，得a2＝3， ∴E的方程为＋＝1. (2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)．由题意知，直线MN与y轴不垂直，设其方程为x－1＝t(y＋2)． 联立得方程组消去x并整理，得(4t2＋3)y2＋(16t2＋8t)y＋16t2＋16t－8＝0， 所以y1＋y2＝－，y1y2＝. 设T(x0，y1)．由A，B，T三点共线，得＝，得x0＝y1＋3. 设H(x′，y′)． 由＝， 得＝，所以x′＝3y1＋6－x1，y′＝y1， 所以直线HN的斜率k＝ ＝＝， 所以直线HN的方程为y－y2＝·(x－x2)． 令x＝0，得y＝·(－x2)＋y2 ＝＋y2 ＝ ＝ ＝－2. 所以直线NH过定点(0，－2)． [方法技巧] 求解圆锥曲线中定点问题的2种方法 (1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． (2)直接推理法：①选择一个参数建立方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常数k当成变量，将变量x，y当成常数，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式；②根据曲线(包含直线)过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是曲线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．　　 [针对训练] (2023·邯郸开学摸底考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点. (1)求椭圆方程； (2)设直线l：y＝kx＋m(k≠0)交椭圆C于A，B两点，且线段AB的中点M在直线x＝上，求证：线段AB的中垂线恒过定点N. 解：(1)椭圆过点，即＋＝1，又2c＝2，得a2＝b2＋3，所以a2＝4，b2＝1，即椭圆方程为＋y2＝1. (2)证明：由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，设AB的