第九章 第九节 第2课时 圆锥曲线中的范围、最值、证明问题（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第3课时　题型上(一)　圆锥曲线中的范围、最值、证明问题 命题视角一　构造目标不等式解决范围问题 欲求变量的取值范围，可设法构造含有变量的不等式(组)，通过解不等式(组)来达到目的. [方法技巧] 圆锥曲线中范围问题的5个解题策略 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．　　 命题视角二　构造函数模型解决最值问题 若题目中的条件和要求的结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，然后根据其结构特征，构建函数模型求最值，一般情况下，常构建的函数模型有：(1)二次型函数；(2)双曲线型函数；(3)多项式型函数． [方法技巧] 求解圆锥曲线中最值问题的2种方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法： (1)几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解； (2)代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．　　 [方法技巧] 圆锥曲线证明问题的类型及求解策略 (1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)． (2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明． “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（五十一）” (单击进入电子文档) 30 [典例] 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(a，2)在抛物线C上． (1)若|MF|＝6，求抛物线的标准方程； (2)若直线x＋y＝t与抛物线C交于A，B两点，点N的坐标为(1,0)，且满足NA⊥NB，原点O到直线AB的距离不小于，求p的取值范围． [解](1)由题意及抛物线的定义得，a＋＝6， 又点M(a，2)在抛物线C上，所以20＝2pa， 由解得或 所以抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝20x. (2)联立消去y，整理得x2－(2t＋2p)x＋t2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2t＋2p，x1x2＝t2.因为NA⊥NB，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，又y1＝t－x1，y2＝t－x2， 所以2x1x2－(1＋t)(x1＋x2)＋t2＋1＝0，得2p＝.由原点O到直线AB的距离不小于， 得≥ ，即t≤－2(舍去)或t≥2， 因为2p＝＝t＋1＋－4，函数y＝在t∈[2，＋∞)上单调递增， 所以p≥，即p的取值范围为. [针对训练] 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，右焦点F(1,0)，离心率为，过F作两条互相垂直的弦AB，CD. (1)求椭圆的标准方程； (2)求以A，B，C，D为顶点的四边形的面积的取值范围． 解：(1)由题意得c＝1，＝，∴a＝，则b＝c＝1，则椭圆的标准方程为＋y2＝1. (2)①当两直线一条斜率不存在、一条斜率为0时，S＝|AB|·|CD|＝×2×＝2.②当两直线斜率存在且都不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将其代入椭圆方程整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，则|AB|＝|x1－x2|＝，同理，|CD|＝，则S＝|AB|·|CD|＝··＝＝＝2－∈，当k＝±1时，S＝.综上所述，四边形面积的取值范围是. [典例] (2022·浙江高考)如图，已知椭圆＋y2＝1.设A，B是椭圆上异于P(0,1)的两点，且点Q在线段AB上，直线PA，PB分别交直线y＝－x＋3于C，D两点． (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值； (2)求|CD|的最小值． [解](1)设M(2cos θ，sin θ)(θ∈[0,2π))是椭圆上任意一点，由P(0,1)， 知|PM|2＝12cos2θ＋(1－sin θ)2＝13－11sin2θ－2sin θ ＝－112≤， 故|PM|的最大值是， 即点P到椭圆上点的距离的最大值为. (2)易知直线AB的斜率存在， 设直线AB：y＝kx＋， 联立直线AB与椭圆的方程， 整理得x2＋kx－＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝－. 直线PA的方程为y＝x＋1， 代