第八章 第五节 第3课时 难点专攻夺高分——立体几何的综合性问题（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第3课时　难点专攻夺高分——立体几何的综合性问题 [方法技巧]　翻折问题的2个解题策略 确定翻折前后变与不变的 关系 画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决 确定翻折后关键点的位置 所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算 [方法技巧] 存在性问题的解题策略 借助于空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数(变量)表示，将几何对象坐标化，这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组．若方程或方程组在题设范围内有解，则通过参数的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组在题设范围内无解，则表示满足题设要求的几何对象不存在．　　 [方法技巧] 解决线面关系中存在性问题的策略 对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用向量法进行线面关系的逻辑推理，寻找假设满足的数据或事实，若满足，则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设． [方法技巧] 空间向量法求最值也是要求出目标函数，但是需要先依据题意建立空间直角坐标系，注意建系时使坐标易于求解或表达，然后求目标函数的表达式．　　 “课时跟踪检测” 见“课时跟踪检测” （四十一） (单击进入电子文档) 29 命题视角一　翻折问题 [典例]　已知平行四边形ABCD中，∠C＝60°，点E在AD上，且满足BC＝2AB＝4AE＝4，将△ABE沿BE折起至△PBE的位置，得到四棱锥P-BCDE. (1)求证：平面PDE⊥平面BCDE； (2)若二面角P-BE-D的大小为120°，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． [解]　(1)证明：在△ABE中，AB＝2，AE＝1，∠A＝60°，由余弦定理得BE2＝AB2＋AE2－2AB·AE·cos 60°＝，∴BE2＋AE2＝AB2，由勾股定理知，BE⊥AE.∵BE⊥PE，BE⊥DE，PE∩DE＝E，∴BE⊥平面PDE，又BE⊂平面BCDE，∴平面PDE⊥平面BCDE. (2)由(1)可知，∠PED即为二面角P-BE-D的平面角． 以E为坐标原点，以，所在的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系E-xyz.于是，D(3,0,0)，B(0，，0)，P，C(4，，0)，∴＝，＝，＝. 设平面PCD的一个法向量为n(x1，y1，z1)， 由即 令x1＝，得y1＝－1，z1＝7.∴n＝(，－1,7)． ∴cos〈n，〉＝＝＝－. 设直线PB与平面PCD所成角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝. ∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为. [针对训练] 如图，在直角梯形AO1O2C中，AO1∥CO2，AO1⊥O1O2，O1O2＝4，CO2＝2，AO1＝4，点B是线段O1O2的中点，将△ABO1，△BCO2分别沿AB，BC向上折起，使O1，O2重合于点O，得到三棱锥O-ABC.试在三棱锥O-ABC中， (1)求证：平面AOB⊥平面BOC； (2)求直线OC与平面ABC所成角的正弦值． 解：(1)证明：在直角梯形AO1O2C中，AC2＝2＋O1O＝20，所以在三棱锥O-ABC中，AC2＝AO2＋OC2，所以AO⊥OC.又因为AO⊥OB，OC∩OB＝O，所以AO⊥平面BOC.又因为AO⊂平面AOB，所以平面AOB⊥平面BOC. (2)由(1)知，AO⊥OC，AO⊥OB，又BO⊥OC， 以O为坐标原点，以，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，所以A(0,0,4)，B(0,2,0)，C(2,0,0)，＝(2,0,0)，＝(0,2，－4)，＝(2，－2,0)． 设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量， 由得令x＝2，得n＝(2,2，1)．设直线OC与平面ABC所成的角为θ，所以sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝，所以直线OC与平面ABC所成角的正弦值为. 命题视角二　探索性问题 考法(一)　空间角的存在性问题　 [例1]　如图，在四棱锥M-ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝∠BMC＝90°，MB＝MC，AD＝DC＝AB＝，平面BCM⊥平面ABCD. (1)求证：CD∥平面ABM； (2)求证：AC⊥平面BCM； (3)在棱AM上是否存在一点E，使得二面角E-BC-M的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． [解]　(1)