第八章 第五节 第2课时 精研题型明考向——利用空间向量求空间角（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第2课时　精研题型明考向——利用空间向量求空间角 [把脉考情] 常规角度 1.求异面直线所成的角：以棱柱、棱锥等简单几何体为载体，考查应用定义法或向量法求两异面直线所成的角． 2.求直线与平面所成的角：以棱柱、棱锥或不规则的几何体为载体，与线、面位置关系的证明相结合，考查直线与平面所成的角的求法． 3.求二面角：以棱柱、棱锥或不规则的几何体为载体，与线面位置关系的证明相结合，考查二面角的求法 创新角度 1.与角有关的最值问题是近几年的热点． 2.结构不良问题除在数列、导数中出现外，还出现在了立体几何部分 [方法技巧]　利用空间向量求线面角的解题模型 [方法技巧]　利用空间向量求二面角的解题模型 “课时跟踪检测” 见“课时跟踪检测” （四十） (单击进入电子文档) 45 1．(2020全国Ⅱ卷·考查平行垂直关系及线面角) 如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F. (1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F； (2)设O为△A1B1C1的中心．若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值． 解：(1)证明：因为M，N分别为BC，B1C1的中点， 所以MN∥CC1. 又由已知得AA1∥CC1，所以AA1∥MN. 因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N. 又B1C1⊥MN，A1N∩MN＝N， 所以B1C1⊥平面A1AMN. 因为B1C1⊂平面EB1C1F， 所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F. (2)由已知得AM⊥BC.以M为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz，则AB＝2，AM＝.连接NP，则四边形AONP为平行四边形，故PM＝，E. 由(1)知平面A1AMN⊥平面ABC. 作NQ⊥AM，垂足为Q，则NQ⊥平面ABC. 设Q(a,0,0)， 则NQ＝，B1， 故＝， ||＝. 又n＝(0，－1,0)是平面A1AMN的法向量， 故sin＝cosn，＝＝.所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为. 2．(2022全国乙卷·考查平面与平面垂直及线面角) 如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点． (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60° ，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值． 解：(1)证明：因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，所以△ADB≌△CDB，所以AB＝BC. 因为E为AC的中点，所以AC⊥BE，AC⊥DE， 又BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BED，所以AC⊥平面BED， 又AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD. (2)因为AB＝BC＝2，∠ACB＝60°，所以△ABC为正三角形，则AC＝2，BE＝，AE＝1. 因为AD＝CD，AD⊥CD，所以△ADC为等腰直角三角形，所以DE＝1. 所以DE2＋BE2＝BD2，则DE⊥BE. 由(1)可知，AC⊥平面BED.连接EF，因为EF⊂平面BED，所以AC⊥EF，当△AFC的面积最小时，点F到直线AC的距离最小，即EF的长度最小．在Rt△BED中，当EF的长度最小时，EF⊥BD，EF＝＝. 又DE⊥AC，BE⊥AC，所以EA，EB，ED两两垂直，以E为坐标原点，EA，EB，ED所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系E-xyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，D(0,0,1)， C(－1,0,0)，＝(－1，，0)，＝ (0，，－1)． 易得DF＝，FB＝，所以3＝.设F(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，＝(0，－y，－z)，所以3(0，y，z－1)＝(0，－y，－z)，得y＝，z＝，即F，所以＝. 设平面ABD的法向量为n＝(x1，y1，z1)， 则不妨取y1＝1，则x1＝，z1＝，n＝(，1，)． 记CF与平面ABD所成的角为α， 则sin α＝|cos〈，n〉|＝＝. 3．(2021全国甲卷·考查垂直关系及二面角的最值问题) 已知直三棱柱ABC -A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1. (1)证明：BF⊥DE； (2)当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？ 解：(1)证明：因为侧面AA1B1B为正方形，所以A1B1⊥BB1. 又BF⊥A1B1，而BF∩BB1＝B，BF⊂平面BB1C1C，BB1⊂平面BB1C1C，所以A