第九章 第三节 第3课时 难点专攻夺高分——与圆有关的综合问题（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第3课时 难点专攻夺高分——与圆有关的综合问题 圆的方程是高中数学的一个重要知识点，随着高考改革的变化，圆锥曲线的考查难度逐渐降低，而圆作为圆锥曲线中的一种特殊形式，命题的热度越来越高，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨迹问题和最值问题．解决此类问题的关键是数形结合思想的运用． 命题视角一　与圆有关的轨迹问题 [典例]　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． [方法技巧]　求与圆有关的轨迹问题的方法 直接法 直接根据题目提供的条件列出方程 定义法 根据圆、直线等定义列方程 几何法 利用圆的几何性质列方程 代入法 找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 [针对训练] 已知线段AB的端点B的坐标为(8,6)，端点A在圆C：x2＋y2＋4x＝0上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么． 5 [答案]　B [方法技巧] 若(x，y)为圆上任意一点，求形如u＝ax＋by的最值，可转化为求动直线截距的最值．具体方法是：(1)数形结合法，当直线与圆相切时，直线在y轴上的截距取得最值；(2)把u＝ax＋by代入圆的方程中，消去y得到关于x的一元二次方程，由Δ≥0求得u的范围，进而求得最值．　　 [方法技巧] 若(x，y)为圆上任意一点，求形如t＝(x－a)2＋(y－b)2的最值，可转化为圆上的点到定点的距离的最值，即把(x－a)2＋(y－b)2看作是点(a，b)与圆上的点(x，y)连线的距离的平方，利用数形结合法求解．　 [答案]　A [方法技巧] 求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路： (1)“动化定”，即把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离； (2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．　　 答案：C　 答案：A 3．已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是 ． “课时跟踪检测” 见“课时跟踪检测” （四十五） (单击进入电子文档) 18 [解]　(1)设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1， 又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)． (2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)． 解：设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)，由于点B的坐标为(8,6)，且P为线段AB的中点，∴x＝，y＝，于是有x0＝2x－8，y0＝2y－6.∵点A在圆C上运动，∴点A的坐标满足方程x2＋y2＋4x＝0，即x＋y＋4x0＝0，∴(2x－8)2＋(2y－6)2＋4(2x－8)＝0，化简整理，得x2＋y2－6x－6y＋17＝0，即(x－3)2＋(y－3)2＝1.故点P的轨迹是以(3,3)为圆心，1为半径的圆． 命题视角二　与圆有关的范围或最值问题 考法(一)　斜率型最值问题　 [例1]　已知x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则的最大值为(　 ) A．2 B. C. D. [解析]　方程配方得(x－2)2＋(y－1)2＝9.＝2＋3×＝2＋3kPA，其中A(－3,1)为定点，点P(x，y)为圆上一点．设过定点A的直线l：y－1＝k(x＋3)与圆相切，则＝3⇒k＝±，由题可知，－≤kPA≤，所以的最大值为2＋3×＝，故选B. [方法技巧] 处理与圆有关的最值问题，应充分探究圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，利用数形结合思想求解．求形如k＝的最值问题，可转化为求斜率的最值问题，即过点(a，b)和(x，y)的直线斜率的最值问题．　　 [答案]　－2　－－2 考法(二)　截距型最值问题　 [例2]　已知实数x，y满足方程x2＋y2＋4y－1＝0，则x＋y的最大值是 ，最小值是 ． [解析]　设x＋y＝b，则直线x＋y＝b与圆x2＋y2＋4y－1＝0有公共点，而圆x2＋y2＋4y－1＝0配方得x2＋(y＋2)2＝5，所以圆心坐标为(0，－2)，半径为，于是