第九章 第七节 曲线与方程（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第七节　曲线与方程 课程标准 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质． 3．能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程． [由教材回扣基础] 1．曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的对应关系： (1)曲线C上点的坐标都是_________的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是_______的点，那么，这个方程叫做_____的方程，这条曲线叫做_____的曲线． 这个方程 曲线上 曲线 方程 任意 x，y 所得方程 答案：B　 答案：圆 答案：A　 方法二　定义法求轨迹方程 “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（四十九）” (单击进入电子文档) 21 2．求动点的轨迹方程的基本步骤 (1)建系：建立适当的平面直角坐标系． (2)设点：轨迹上的_____一点一般设为P(x，y)． (3)列式：列出或找出动点P满足的等式． (4)代换：将得到的等式转化为关于_____的方程． (5)验证：验证_________即为所求的轨迹方程． [练小题巩固基础] 一、练牢教材小题 1．(人教A版选修2－1 P49 T7改编)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A 为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是 (　 ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析：∵|PA|＝|PN|，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|MA|＝6>|MN|.故动点P的轨迹是椭圆．故选B. 答案：(x－2)2＋y2＝4(0≤x<1) 2．(人教A版选修2－1 P37 T4改编)已知⊙O方程为x2＋y2＝4，过M(4,0)的直线与⊙O交于A，B两点，则弦AB中点P的轨迹方程为________________． 解析：根据垂径定理知：OP⊥PM，所以P点轨迹是以OM为直径的圆且在⊙O内的部分．以OM为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，它与⊙O的交点为(1，±)．结合图形可知所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤x<1)． 二、练清易错易混 1．(混淆“轨迹”与“轨迹方程”)平面内与两定点A(2,2)，B(0,0)距离的比值为2的点的轨迹是________． 解析：设动点坐标为(x，y)，则＝2，整理得3x2＋3y2＋4x＋4y－8＝0，所以满足条件的点的轨迹是圆． 答案：y2＝8x(x≠0) 2．(忽视轨迹方程的“完备性”与“纯粹性”)平面上有三个不同点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为________． 解析：＝，＝，由⊥，得·＝0，即2x＋·＝0，所以动点C的轨迹方程为y2＝8x(x≠0)． 方法一　直接法求轨迹方程 [典例]　已知△ABC的三个顶点分别为A(－1,0)，B(2,3)，C(1,2)，定点P(1,1)． (1)求△ABC外接圆的标准方程； (2)若过定点P的直线与△ABC的外接圆交于E，F两点，求弦EF中点的轨迹方程． [解]　(1)由题意得AC的中点坐标为(0，)，AB的中点坐标为，kAC＝，kAB＝1，故AC中垂线的斜率为－，AB中垂线的斜率为－1，则AC 的中垂线的方程为y－＝－x，AB的中垂线的方程为y－＝－. 由得 所以△ABC的外接圆圆心为(2,0)，半径r＝2＋1＝3，故△ABC外接圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝9. (2)设弦EF的中点为M(x，y)，△ABC外接圆的圆心为N，则N(2,0)， 由MN⊥MP，得·＝0， 所以(x－2，y)·(x－1，y－1)＝0， 整理得x2＋y2－3x－y＋2＝0， 故弦EF中点的轨迹方程为2＋2＝. [方法技巧] (1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简． (2)运用直接法应注意的问题： ①在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的； ②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．　　 [针对训练] 1．(2020·全国Ⅲ卷)在平面内，A，B是两个定点，C是动点．若·＝1，则点C的轨迹为 (　 ) A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线 解析：以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设A(－a,0)，B(a,0)，C(x，y)，∵·＝1，∴(x＋a)(x－a)＋y·y＝1，∴x2＋y2＝a2＋1，∴点C的轨迹为圆，故选A. 2．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－.求动点P的轨迹方程． 解：因为点B与点A(－1,1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，－1)．设点P的坐