第四章 第六节 第2课时 精研题型明考向——解三角形及应用举例（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第2课时　精研题型明考向——解三角形及应用举例 1．(2021全国甲卷·考查三角恒等变换及正弦定理) 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一． 右图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且 A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′ B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732) (　 ) A．346 B．373 C．446 D．473 4．(2021新高考Ⅰ卷·正余弦定理与多边形相结合) 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD·sin∠ABC＝asin C. (1)证明：BD＝b； (2)若AD＝2DC，求cos∠ABC. 解：(1)证明：因为A＋B＋C＝π，所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，由正弦定理可得2a2＝b2＋c2. (2)由(1)及a2＝b2＋c2－2bccos A，得a2＝2bccos A，所以2bc＝31.因为b2＋c2＝2a2＝50，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，得b＋c＝9， 所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14. [把脉考情] 常规角度 1.三角形基本量的求解：主要考查利用正弦或余弦定理解三角形求边或角． 2.三角形面积问题：主要考查求三角形的面积或由三角形的面积求边或角 创新角度 1.与平面几何相结合，求边角问题． 2.与实际情境结合考查 [方法技巧]　用正、余弦定理求三角形基本量的方法 解：(1)在△ABC中，A＋B＋C＝π， 若选①，则由正弦定理得： 3sin Acos B＋3sin Bcos A＝asin C ⇒3sin(A＋B)＝asin C⇒3sin C＝asin C， 因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，因此a＝3. 命题视角二　三角形形状的判断 [典例]　(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2. (1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积； (2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． [方法技巧]　判断三角形形状的方法 化边 通过因式分解、配方等得到边的相对应关系，从而判断三角形的形状 化角 通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状(此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论) [提醒]　①钝角三角形：a2＞b2＋c2或A＞90°. ②锐角三角形：a为最大边，且满足a2＜b2＋c2或A为最大角，且A＜90°. [针对训练] 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若asin A＋bsin B＜csin C，则△ABC的形状是 (　 ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形 命题视角三　与解三角形有关的最值、范围问题 [典例]　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a－c)sin(A＋B)＝(a－b)(sin A＋sin B)． (1)求角B的大小； (2)若b＝4，求a＋c的最大值． [方法技巧]　三角形的最值(范围)问题的求解方法 求解三角形的边、角、面积及周长的范围或最值问题所用方法如下： 函数法 通过正、余弦定理将边转化为角，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为“一角一函数”的形式，最后结合角的范围利用三角函数的单调性和值域求解 基本不等式法 利用正、余弦定理，面积公式建立a＋b，ab，a2＋b2之间的等量关系与不等关系，然后利用基本不等式求解 [方法技巧] 平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． [提醒]　做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．　　 命题视角五　解三角形应用问题 [典例]　(1)测量西藏被誉为“阿里之巅”的冈仁波齐山峰的高 度通常采用人工攀登的方式，测量人员从山脚开始，直到