第三章 第二节 第5课时 难点专攻夺高分(二) 利用导数研究函数的零点问题（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第5课时难点专攻夺高分（二） 利用导数研究函数的零点问题 命题视角一研究零点个数 [典例] 已知函数f)3-a2+x+1). (1)若a=3,求fx)的单调区间： (2)证明：fx)只有一个零点. 懈](0当a=3时.f)=3-32-3-3. f′x)=x2-6r-3. f'(x)=0,解得x=3-2V3或x=3+2V3. 当x∈(-∞，3-2V3)0(3十2V3,+∞)时，f'x)>0: 当x∈(3-2V3,3+2V3)时，f′x)<0. 故fx)的单调递增区间为（一∞，3一2V3),(3十2V3,十∞），单调递减区间 为3-2V3,3+2V3): (2)证明：因为x2+x+1>0. 所以f)=0等价于2+x+1-3M=0. 设gy)=x2++1一3u. 则g-特n 仅当x=0时，g’x)=0, 所以g)在（一∞，十∞）上单调递增 故gx)至多有一个零点，从而fx)至多有一个零点 又f3a-1)=-602+2a月-da--。0.fBa+D=分0.故)有- 个零点 综上，fx)只有一个零点. [方法技巧 函数零点个数也就是函数图象与x轴交点的个数，所以可以借助函数图象的 特征迅速求解函数的零点个数问题.对于含参函数的零点个数，一般可从两个方 面讨论： ()利用导数研究函数的单调性和极值，作出函数的大致图象，根据极大值和 极小值的符号确定函数零点的个数，即“几个交点几个根，正负极值定乾坤”； (2)分离参数，将问题转化为：求直线y=与函数y=x)的图象交点个数问题， 即“求根问题要通变，分离参数放左边”. [针对训练] 设函数fe)=nr十Ⅲ， ’m∈R. (①)当m=e(e为自然对数的底数时，求fx)的极小值： 2)讨论函数g)f'()零点的个数. 解：()由题意知，当m=e时，f)=nx+>0,则f'=,i当，xE0, e)时，f'x)<0,fx)在(0，e)上单调递减；当xE(e,+o)时，f'x)>0,fx)在 (e,+)上单调递增，÷当x=e时，fx)取得极小值f(e)=lne+。=2,fw) 的极小值为2. 2由题意知86)了'6)-一片->0.合86)=0.得m=-寸+ 6>0).设6)=-+t≥0.则p'6=-2+1=--)e+1D.当x E(0,1)时，p'c)>0px)在(0,1)上单调递增：当x∈(1，+o)时，p'x)<0,px) 在(1，+∞)上单调递减.：x=1是p)的唯一极值点，且是极 大值点，因此x=1也是px)的最大值点，·p)的最大值为p() y=(x) -子又：p0=0结合=p)的图象（如图可知，①当m时.千 函数g)无需点；②当m=时，函数g)有且只有一个秀点：③当0<m<时。 函数gx)有两个零点；④当m≤0时，函数gx)有且只有一个零点.综上所述， 当m>了时，函数g无零点：当m=子或m≤0时，函数g)有且只有一个零点： 当0<m<了时，函数g)有两个零点 命题视角二由零点个数求参数 [典例(2022·全国乙卷)己知函数fx)=In(1十x)十xe一x. (1)当a=1时，求曲线=fx)在点(0，f0)处的切线方程； (2)若fx)在区间（一1,0），(0，十∞)各恰有一个零点，求a的取值范围. 解：()当a=1时，fx)=ln(1十x)十xe, f)=十1+e*+e(一) :f′(0)=1+1=2， :f(0)=0. ·所求切线方程为y一0=2化一0)，即y=2x. (2)f@w)=ln(1+x)+ax-e*=ln(x+D)+. :①当a≥0时，若>0，则1nc+1>0.≥0， fx)>0, ∴fx)在(0，十∞)上无零点，不符合题意. ②当am时.f0=在户 c+1)e 合g)=e+a(1一x3,则g′x)=e-2ax,g'c)在(-1，+∞)上单调递增， g'(-1)=e1+2a,g'(0)=1, (a)若g'(（-10≥0，则-20≤a<0.÷当-26≤a<0时，g'6c)>0在(-1，+ ∞)上恒成立， ·gx)在(1，+∞)上单调递增， "g(-1)=e>0,·gx)>0在(-1，+∞)上恒成立， “f'c)>0在(-1，+∞)上恒成立， :fx)在(-1，+∞)上单调递增，“f(0)=0, “fx)在（一1,0），(0，十∞)上均无零点，不符合题意. 若g'(一10.则a-2c当aK-2时，存在E(一1,0.使得g'a0 =0. ·g(c)在（一1，xo)上单调递减，在co,+∞）上单调递增 g(-1)=e>0,g(0)=1+a,g(1)=e>0. (i)当g0≥0.即-1≤a<一2时，g60在0.+)上恒成立。 ∴f'x)>0在(0，+∞)上恒成立， :fx)在(0，十∞)上单调递增 :f(0)=0,:当xE(0,+∞)时，fx)>0, ∴fx)在(0，十∞)上无零点