第二章 第四节 指数与指数函数（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

[由教材回扣基础] 1．根式的概念与性质 2.有理数指数幂 3.指数函数的图象与性质 (3)函数y＝a－x(a＞0，且a≠1)是R上的增函数． (　 ) (4)函数y＝2x－1是指数函数． (　 ) (5)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n. (　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．(对指数函数的概念理解不透彻)若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝____. 答案：2 3．(忽视对底数a的讨论)若函数f(x)＝ax在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________. 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．　　 命题视角二　指数函数的图象及应用 [典例]　(1)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所 示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是 (　 ) (2)函数y＝|3x－2|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________． [解析]　(1)由函数f(x)的图象可知，b<－1<0<a<1，∴g(x)＝ax＋b的图象是递减的．又g(0)＝a0＋b＝1＋b<0，∴g(x)的图象与y轴交于负半轴，故选A. (2)作出函数y＝|3x－2|的图象如图所示．由图可知，若函数y＝ |3x－2|＋m的图象不经过第二象限，则将函数y＝|3x－2|的图象至少 向下移动2个单位，则m≤－2. [答案]　(1)A　(2)(－∞，－2] [方法技巧] 有关指数函数图象问题的解题思路 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)有关参数取值范围问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．　　 [针对训练] 1．已知f(x)＝|2x－1|，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则必有 (　 ) A．a＜0，b＜0，c＜0　　 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．2－a＜2c D．1＜2a＋2c＜2 解析：作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示，因为a＜b＜c， 且有f(a)＞f(c)＞f(b)， 所以必有a＜0,0＜c＜1， 且|2a－1|＞|2c－1|， 所以1－2a＞2c－1， 则2a＋2c＜2， 且2a＋2c＞1，故选D. 答案：D　 [方法技巧]　比较指数幂大小的常用方法 单调性法 不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底 取中间值法 不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0,1)比较大小，然后得出大小关系 图解法 根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小 [方法技巧] 简单的指数方程或不等式的求解方法 解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．　　 [方法技巧] 解决形如y＝a2x＋b·ax＋c(a>0，且a≠1)型函数最值问题，多利用换元法，即令t＝ax，转化为y＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围．　　 [针对训练] 1．已知a＝31.1，b＝41.1，c＝30.9，则a，b，c的大小关系为 (　 ) A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a 解析：由题意，构造函数y＝3x，y＝x1.1，由指数函数和幂函数的性质，可知两个函数在(0，＋∞)单调递增．由于0.9＜1.1，∴30.9＜31.1，∴c＜a；由于3＜4，∴31.1＜41.1，∴a＜b.综上，c＜a＜b. 答案：A　 以点带面·练系统思维——巧用换元，柳暗花明 换元法是一种常用的解题方法，一方面，通过换元把复杂的转化为相对简单的或熟悉的知识，便于求解；另一方面，在运用换元法解题时要特别注意新“元”的取值范围对解题的影响，忽视这一点往往会造成解题上的失误，常在求函数解析式、最值、判断复合函数单调性等处应用． 解析：设t＝x2－2x－3，由t≥0，得x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．