第二章 第二节 第3课时 难点专攻夺高分——函数性质的综合问题（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第3课时　难点专攻夺高分——函数性质的综合问题 函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主． [方法技巧] 奇偶性与单调性综合的两种题型及解法 (1)比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小． (2)抽象不等式问题，解题步骤是： ①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； ②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题． [提醒]　在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如0＝f(1)，f(x－1)＜0，则f(x－1)＜f(1)．　　 [针对训练] 1．设f(x)是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f(x)＝ln x＋ex.若a＝f(－π)，b＝f(log23)，c＝f(2－0.2)，则a，b，c的大小关系为 (　 ) A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b 解析：当x＞0时，f(x)＝ln x＋ex为增函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，a＝f(－π)＝f(π)，又π＞3＞log23＞1＞2－0.2＞0，∴f(－π)＞f(log23)＞f(2－0.2)，∴a＞b＞c. 答案：C　 解析：当x>0时，f(x)＝2x－1是增函数且f(x)>0，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0满足f(x)＝2x－1，又函数f(x)在R上是连续函数，所以函数f(x)在R上是增函数，且f(2)＝3，进而原不等式化为f(log3x)<f(2)，结合f(x)的单调性可得log3x<2，所以0<x<9，即原不等式的解集为(0,9)． 答案：B　 [方法技巧] 函数周期性与奇偶性的综合多是求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的定义域内求解．　　 [针对训练] 1．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为 (　 ) A．(－∞，－3) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 解析：∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，∴f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又∵函数f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，∴f(7)＝f(2)>1，∴a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D. 答案：D　 [方法技巧] 解决奇偶性与对称性的综合问题时要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，再利用适合的式子判断函数图象的对称轴或对称中心．也可利用图象变换关系得出函数图象的对称轴或对称中心．总之，要充分利用条件进行适当转化．　　 [针对训练] 已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则f(2 020)＋f(2 021)的值为 (　 ) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：∵f(x)的图象关于x＝1对称， ∴f(2－x)＝f(x)． ∵函数f(x)为(－∞，＋∞)上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)， ∴f(4－x)＝－f(2－x)＝f(－x)，∴周期T＝4. ∵x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1， ∴f(1)＝21－1＝2－1＝1. 又函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，∴f(0)＝0， ∴f(2 020)＋f(2 021)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1. 答案：D　 [方法技巧] 对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．　　 “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测(六)” (单击进入电子文档) 22 命题视角一　函数的单调性与奇偶性相结合 [典例]　(1)已知偶函数fx＋eq \f(π,2)，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，f(x)＝x ＋sin x，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则 (　 ) A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．c<a<b (2)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－eq