第二章 第二节 第2课时 精研题型明考向——函数的性质及其应用（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

4．(2020新高考Ⅱ卷·考查复合函数的单调性及定义域) 已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是 (　 ) A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[2，＋∞) D．[5，＋∞) [把脉考情] 常规角度 1.函数单调性的判断及应用：主要考查判断函数的单调性、求单调区间，利用单调性求参数的取值范围、比较大小、求最值等； 2.函数奇偶性的判断及应用：主要考查判断函数的奇偶性，利用奇偶性求值等； 3.函数周期性的判断及应用：主要考查函数周期性的判断，利用周期性求值等 创新角度 函数的奇偶性、周期性、对称性综合交汇命题 [方法技巧]　确定函数单调性的常用方法 定义法 先确定定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论 图象法 若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性 导数法 先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性 利用函数的单调性比较大小的方法 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解．　　 考法(三)　解函数不等式　 [例3]　若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是 (　 ) A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1] C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3] [解析]　由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x<0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1,0]∪[1,3]，故选D. [答案]　D [方法技巧] 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．　　 [方法技巧] 利用函数单调性求参数的策略 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数． (2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． (3)分段函数的单调性需要分段研究，既要保证每一段函数的单调性，还要注意两段端点值的大小．　　 [针对训练] 1．已知减函数f(x)的定义域是实数集R，m，n都是实数．如果不等式f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立，那么下列不等式成立的是 (　 ) A．m－n＜0 B．m－n>0 C．m＋n＜0 D．m＋n>0 解析：设F(x)＝f(x)－f(－x)，由于f(x)是R上的减函数，∴f(－x)是R上的增函数，－f(－x)是R上的减函数，∴F(x)是R上的减函数，∴当m＜n时，有F(m)>F(n)，即f(m)－f(－m)>f(n)－f(－n)成立．因此，当f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立时，不等式m－n＜0一定成立，故选A. 答案：A　 3．已知函数f(x)＝－x|x|，x∈(－1,1)，则不等式f(1－m)<f(m2－1)的解集为________． [方法技巧]　求函数最值的4种常用方法 单调性法 先确定函数的单调性，再由单调性求最值 图象法 先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值 基本不等式法 先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值 导数法 先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值 解析：在同一坐标系中，作出函数f(x)，g(x)的图象，依题意， h(x)的图象如图中实线所示．易知点A(2,1)为图象的最高点，因 此h(x)的最大值是h(2)＝1. 答案：1 [方法技巧]　函数奇偶性的判定方法 考法(二)　函数奇偶性的应用　 [例2]　(1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－1，则f(－6)＝ (　 ) A．2 B．4 C．－2 D．－4 (2)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________. [方法技巧]　利用函数奇偶性可以解决以下问题 求函数值 将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值 求解析式 将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出 求解析式中的参数 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性建立方程(组)，进而得出参数的值 画函数图