第7章 第9节 立体几何中的动态问题(习题课)（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第九节　立体几何中的动态问题(习题课) 开始 1 第九节　立体几何中的动态问题(习题课) “动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题意更新颖．同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化，加强了对学生空间想象能力的考查．解决动态几何问题的关键在于要注重动态元素所引发的图形变化过程，动中窥静，静中见动，以静制动． [方法技巧] 利用线面位置关系在动态问题中提炼一些不变的“静态”量，建立不变量与动点之间的关系，从而确定轨迹及长度．　　　 考法二　定值问题 立体几何中动点的轨迹的度量问题的探究，包括求解轨迹的长度，相关的体积、截面面积等． [方法技巧] 动态立体几何问题，在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口．　　　 考法三　翻折问题 [方法技巧] 本题是一个动态的翻折问题，通过发现不变的垂直关系，从而得到相关变量间的关系，最终转化成函数的值域问题．解决折叠问题的关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变的量．　　　 “课时验收评价”见“课时验收评价（五十一）” (单击进入电子文档) 48 谢 谢 观 看 49 考法一　轨迹问题 [典例]　(1)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为平面AB1D1内一动点，P到底面ABCD的距离与到直线AD1的距离相等，则P点的轨迹是(　 ) A．直线 B．圆 C．抛物线 D．椭圆 (2)(2023·焦作模拟)如图，已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为6的菱形，∠BAD＝60°，AC，BD相交于点O，SO⊥平面ABCD，SO＝4，E是BC的中点，动点P在该棱锥表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的长为(　 ) A．3 B．7 C．13 D．8 [答案]　(1)A　(2)D [解析]　(1)过A作l∥B1D1，作PF⊥AD1于点F，PE⊥l于点E，作PH⊥底面ABCD于点H，如图，设正方体棱长为1，由平面几何知识可得D1B1与AE间的距离为sin 60°＝， 所以sin∠PEH＝＝，所以PF＝PH＝PE，所以在平面AB1D1内满足＝，所以P点的轨迹是直线，故选A. (2)取DC，SC的中点G，F，连接GE，FE，GF， ∵E是BC的中点，∴GE∥DB，FE∥SB， 又GE，FE⊂平面FEG，GE∩FE＝E，∴平面FEG∥平面SBD， ∵SO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴SO⊥AC， 又四边形ABCD是菱形，∴DB⊥AC， ∵SO∩DB＝O，∴AC⊥平面SBD， 则AC⊥平面EFG， 故只要动点P在平面FEG内， 总保持PE⊥AC， 又动点P在棱锥表面上运动， ∴动点P的轨迹的长即为△FEG的周长， ∵四边形ABCD为菱形，边长为6， 且∠BAD＝60°，∴BD＝6， 则OB＝OD＝3，又SO＝4，∴SB＝SD＝5， 故FE＝FG＝，GE＝3， ∴△FEG的周长为8.故选D. [针对训练] 1．(多选)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点M 为CC1的中点，点P为正方形A1B1C1D1上的动点，则(　 ) A．满足MP∥平面BDA1的点P的轨迹长度为 B．满足MP⊥AM的点P的轨迹长度为 C．存在点P，使得平面AMP经过点B D．存在点P满足PA＋PM＝5 答案：AD　 解析：对于A，取B1C1的中点Q，D1C1的中点N，又点M为CC1的中点， 由正方体的性质知MQ∥A1D，NQ∥BD，MQ∩NQ＝Q，A1D∩BD＝D， 所以平面MQN∥平面BDA1，若MP⊂平面MQN，则MP∥平面BDA1， 故点P的轨迹为线段NQ＝＝，故A正确； 以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A(2,0,0)，M(0,2,1)，设P(x，y,2)， 且0≤x≤2,0≤y≤2， ＝(x－2，y,2)，＝(x，y－2,1)，＝(－2,2,1)； 对于B，·＝－2x＋2(y－2)＋1＝－2x＋2y－3＝0，即y＝x＋， 又0≤x≤2,0≤y≤2， 则点P的轨迹为线段EF，E，F， 且EF＝＝，故B错误； 对于C，设P(x，y,2)，且0≤x≤2,0≤y≤2， 若平面AMP经过点B，则＝a＋b＋c，且a＋b＋c＝1， 又＝(x，y,2)，＝(2,0,0)，＝(2,2,0)，＝(0,2,1)， 所以(x，y,2)＝a(2,0,0)＋b(2，2,0)＋c(0,2,1)，即(x，y,2)＝(2a＋2b,2b＋2c