第7章 第8节 立体几何中的综合问题(习题课)（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第八节　立体几何中的综合问题(习题课) 开始 1 第八节　立体几何中的综合问题(习题课) 考法一　空间角与翻折问题相结合 [方法技巧] 解决空间角与翻折相结合的问题的关键 (1)盯住量，即看翻折前后线面位置关系的变化情况，根据翻折过程，把翻折前后没有变化和发生变化的量准确找出来，因为它们反映了翻折后空间图形的特征； (2)会转化，根据需要解决的立体几何问题，确立转化目标；三是得结论，对转化后的问题，用定义、判定定理、性质定理、基本事实、公式等解决．　　 [方法技巧] 空间角存在性问题的解题策略 借助于空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数(变量)表示，将几何对象坐标化，这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组．若方程或方程组在题设范围内有解，则通过参数的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组在题设范围内无解，则表示满足题设要求的几何对象不存在．　　 [方法技巧] 空间几何体中的某些对象，如点、线、面，在约束条件下运动，带动相关的线段长度、几何体体积等发生变化，进而就有了面积与体积及角度的最值问题. 定性分析 在空间几何体的变化过程中，通过观察运动点的位置变化，确定其相关量的变化规律，进而发现相关面积或体积等的变化规律，求得其最大值或最小值 定量分析 将所求问题转化为某一个相关量的问题，即转化为关于其中一个量的函数，求其最大值或最小值的问题．根据具体情况，有函数法、不等式法、三角函数法等多种方法可供选择 “课时验收评价”见“课时验收评价（五十）” (单击进入电子文档) 37 谢 谢 观 看 38 [典例]　(2023·泰安模拟)条件①：图1中tan 2B＝－.条件②：图1中＝＋.条件③：图2中三棱锥A-BCD的体积最大． 从以上三个条件中任选一个，补充在问题(2)中的横线上，并加以解答． 如图1所示，在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝3，过点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90° (如图2)，点E，M分别为棱BC，AC的中点． (1)求证：CD⊥ME； (2)已知________，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求平面BMN与平面CBN夹角的余弦值． [解]　(1)证明：∵CD⊥AD，CD⊥BD，AD∩BD＝D，∴CD⊥平面ABD，∵AB⊂平面ABD，∴CD⊥AB.又∵M，E分别为AC，BC的中点，∴ME∥AB，∴CD⊥ME. (2)方案一：选①，在图1所示的△ABC中，由tan 2B＝－＝，解得tan B＝2或tan B＝－(舍去)．设AD＝CD＝x，在Rt△ADB中，tan B＝＝＝2，解得x＝2，∴BD＝1.以点D为坐标原点，DB，DC，DA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，D(0,0,0)，B(1，0,0)，C(0,2,0)，A(0,0,2)，M(0，1,1)， E，则＝(－1,1,1)．设N(0，a,0)，则＝. ∵EN⊥BM，∴·＝0，即·(－1,1,1)＝0，解得a＝，∴N，∴当DN＝(即N是CD的靠近D的一个四等分点)时，EN⊥BM.设平面BMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，且＝，由得令x＝1，则n＝(1,2，－1)． 取平面CBN的一个法向量m＝(0,0,1)，则|cos〈m，n〉|＝＝＝， ∴平面BMN与平面CBN夹角的余弦值为. 方案二：选②，在图1所示的△ABC中，设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，又∵＝＋，由平面向量基本定理知λ＝，即BD＝1.以下解法同方案一． 方案三：选③，在图1所示的△ABC中，设BD＝x(0<x<3)，则CD＝3－x，∵AD⊥BC，∠ACB＝45°，∴△ADC为等腰直角三角形，∴AD＝CD＝3－x.折起后AD⊥DC，AD⊥BD，且BD∩DC＝D，∴AD⊥平面BCD，又∠BDC＝90°，∴S△BCD＝x(3－x)，VA-BCD＝AD·S△BCD＝(3－x)·x(3－x)＝(x3－6x2＋9x)，x∈(0,3)，令f(x)＝(x3－6x2＋9x)，f′(x)＝(x－1)(x－3)，当0<x<1时，f′(x)>0；当1<x<3时，f′(x)<0，∴x＝BD＝1时，三棱锥A-BCD的体积最大．以下解法同方案一． [针对训练] (2023·南京第五高级中学一模)图1是由矩形ACC1A1、等边△ABC和平行四边形ABB1A2组成的一个平面图形，其中AB＝2，AA1＝AA2＝1，N为A1C1的中点．将其沿AC，AB折起使得AA1与AA2重合，连接B1C1，BN，如图2. (1)证明：在图2中，AC⊥BN，且B，C，C1，B1四点共面； (2)在图2中，若二面角A1-AC-B的大小为θ，且tan θ＝－，求直线AB与平面BCC1B1所成角的正弦值． 解：(1)证明：取AC的中