第7章 第7节 空间向量与空间角、距离问题（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第七节　空间向量与空间角、距离问题 开始 1 第七节　空间向量与空间角、距离问题 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题. 2.了解向量方法在研究立体几何问题中的作用. 1．空间向量与空间角 续表 [0，π] 夹角 补角 续表 2．空间向量与距离 (a·u)u 续表 [方法技巧]　利用空间向量求线面角的解题模型 [方法技巧] 1．利用向量法解二面角问题的策略 找法向 量法 分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小 找与棱垂直的方向向量法 分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 [方法技巧] 点面距的求解步骤 (1)求出该平面的一个法向量； (2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； (3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．　　 “课时验收评价”见“课时验收评价（四十九）” (单击进入电子文档) 54 谢 谢 观 看 55 空间角 向量求法 空间角的范围 异面直线 所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉| ＝___________＝___________ __________ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉| ＝_____________＝________ _______ 二面角 平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或 π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝________ ______ 两个 平面的 夹角 若平面α，β的法向量分别是n1，n2，则平面α与平面β的夹角即向量n1和n2的______或其______； 设平面α与平面β的夹角为θ， 则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝__________＝_________ _______ 直线外一点P到直线l的距离 如图，直线l的单位方向向量为u，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝_________，则点P到直线l的距离为PQ＝＝______________ 平面外一点P到平面α的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点 P到平面α的距离PQ＝＝__________＝_________ 线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离 1．已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1，2，－2)，则l1和l2夹角的余弦值为(　 ) A. B. C. D. 答案：C 2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为________. 答案： 3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为_______. 答案： 4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_______． 答案： 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，由于AB＝2，BC＝AA1＝1，所以A1(1,0,1)， B(1,2,0)，C1(0，2,1)，D1(0,0,1)，所以＝(－1，2，0)，＝(－1,0,1)，＝(0,2,0)．设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则有即令x＝2，得y＝1，z＝2，则n＝(2,1,2)．设D1C1与平面A1BC1所成角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，即D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为. 直线与平面所成的角 [典例]　(2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点． (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60° ，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值． [解]　(1)证明：因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，所以△ADB≌△CDB，所以AB＝BC. 因为E为AC的中点，所以AC⊥BE，AC⊥DE， 又BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BED，所以AC⊥平面B