第7章 第6节 空间向量及其运算和空间位置关系（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第六节　空间向量及其运算和空间位置关系 开始 1 第六节　空间向量及其运算和空间位置关系 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会简单应用空间两点间的距离公式. 2.了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 3.掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示.能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 4.理解直线的方向向量及平面的法向量.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系. 5.能用向量方法证明立体几何中有关直线、平面位置关系的判定定理. 1．空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量 (平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相___________ 共面向量 平行于同一个平面的向量 平行或重合 a＝λb xa＋yb 续表 续表 x＋y＋z＝1 2.数量积及坐标运算 (1)两个空间向量的数量积 (2)空间向量的坐标运算 (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) a1b1＋a2b2＋a3b3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 续表 3.直线的方向向量与平面的法向量 平行或共线 方向向量a 4.空间位置关系的向量表示 4.空间位置关系的向量表示 n1＝kn2 n1·n2＝0 n·m＝0 n＝km n·m＝0 [一“点”就过] 进行向量的线性运算，有以下几个关键点 (1)结合图形，明确图形中各线段的几何关系． (2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义． (3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立． 答案：ABD　 [方法技巧]　空间向量数量积的3个应用 [方法技巧] (1)选取空间不共面的三个向量为基底，用基底表示已知条件和所要解决的问题的过程就是将几何问题转化为向量问题的过程； (2)通过计算向量的数量积为0，可证明垂直问题； (3)要证线面平行，只要证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示即可． “课时验收评价”见“课时验收评价（四十八）” (单击进入电子文档) 55 谢 谢 观 看 56 共线向量定理 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使________ 共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝________ 概念 语言描述 空间向量 基本定理 及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且____________ 数量积 a·b＝__________________ 垂直关系 a⊥b⇔_______________ (a，b为非零向量) 模 设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝___________ |a||b|cos〈a，b〉 a·b＝0 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝________________________ 向量差 a－b＝___________________________ 数量积 a·b＝__________________ 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔____________________ 夹角公式 cos〈a，b〉＝ 直线的方向向量 如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l___________，则称此向量a为直线l的方向向量 平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的___________，则向量a叫做平面α的法向量 位置关系 向量表示 l1∥l2 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 l∥α 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝km(k∈R) 位置关系 向量表示 l1∥l2 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 n1∥n2⇔_________ (k∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔__________ l∥α 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m n⊥m⇔__________ l⊥α n∥m⇔_________ (k∈R) α∥β 平面α，β的法向量分别为n，m n∥m⇔n＝km(k∈R) α⊥β n