第7章 第2节 与球有关的切、接问题（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第二节　与球有关的切、接问题 开始 1 第二节　与球有关的切、接问题 与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似)．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，解决此类题的关键是确定球心． 类型一　外接球问题 方法(一)　定义找心 由球的定义确定球心，在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心． [方法技巧] 由几何体外接球的定义可知，几何体的各顶点到球心的距离相等．常见的两种情况是： (1)若四面体的两个面是公共斜边的直角三角形，则球心是斜边的中点； (2)直三棱柱的外接球的球心在该直三棱柱的上、下底面三角形外心的连线的中点处．　　 2．若半径为1的球的内接正三棱柱的侧面为正方形，则该正三棱柱的体积为________，表面积为________． 方法(二)　补形找心 长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．部分空间几何体可以通过补形补成正方体、长方体或棱柱等途径确定球心． [方法技巧] 1．补形找心的常用模型 (1)有两个面是共直角边的三棱锥，可补成棱柱； (2)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体； (3)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体； (4)若已知棱锥含有线面垂直关系， 则可将棱锥补成长方体或正方体． 2．简单多面体外接球的球心的结论 结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点． 结论2：正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心的连线的中点．　　 [方法技巧] 这类题的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究． 类型二　内切球问题 (1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等． (2)正多面体的内切球和外接球的球心重合． (3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合． [典例]　(2023·宝鸡检测)一个多面体的顶点是四个半径为且两两外切的球的球心，则该多面体内切球的半径为________；内切球的体积为________． “课时验收评价”见“课时验收评价（四十四）” (单击进入电子文档) 34 谢 谢 观 看 35 [例1]　在四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，且边长为2，SA＝4，则该四面体的外接球的表面积是(　 ) A. B. C. D．32π [解析]　如图，过底面正三角形ABC的外心O1作直线l⊥底面ABC，则球心O必在直线l上． 过SA的中点D作DO⊥SA交直线l于O. 因为△ABC为正三角形，且边长为2，所以AO1＝2××＝2. 因为SA⊥平面ABC，OO1⊥平面ABC，所以OO1∥SA. [答案]　D 因为DO⊥SA，SA⊥平面ABC，DO⊄平面ABC，所以DO∥平面ABC. 又平面ADOO1∩平面ABC＝AO1，所以DO∥AO1.所以四边形ADOO1为平行四边形，所以OO1＝AD＝2. 所以外接球的半径R＝＝＝2. 所以外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×(2)2＝32π.故选D. [针对训练] 1.如图，在四面体ABCD中，△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，AB＝，∠BAD＝∠CBD＝，平面ABD⊥平面CBD，则四面体ABCD外接球的表面积为________． 答案：8π 解析：如图所示，取BD，CD中点M，N，连接AM，MN，AN. 在等腰直角△ABD中，AB＝，∠BAD＝，∴AM⊥BD，AM＝BM＝DM＝1，在等腰直角△BCD中，∠CBD＝，∴MN⊥BD，BC＝2，MN＝1，CN＝ND＝BN＝，又平面ABD⊥平面CBD，∴AM⊥MN，∴AN＝，即N为四面体ABCD外接球的球心，R＝，则四面体ABCD外接球的表面积为4πR2＝8π. 答案：　 解析：如图，记正三棱柱为三棱柱ABC-DEF，O为外接球的球心，G为底面△DEF的重心，连接OG，则OG⊥底面DEF，连接DG，OD.设正三棱柱的底面边长为a，则由题意知，DG2＋OG2＝DO2，即2＋2＝1，得a＝，故正三棱柱的体积为a2××a＝，表面积为3a2＋2×a2×＝＋＝. [例2]　(1)已知球O表面上的四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝，BC＝，则球O的体积等于________． (2)(2023·梅州一模)已知球O是三棱锥P-ABC的外接球，PA＝AB＝PB＝AC＝2，CP＝2，点D是PB的中点，且CD＝，则球O的表面积为________． [答案]　(1)π　(2) [解析]　(1)因为DA⊥平面ABC，