第3章 第4节 第2课时 题型细研(1)——不等式的证明（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第四节　第2课时　题型细研(1)——不等式的证明 开始 1 3．利用导数证明不等式问题，多数利用函数与方程思想结合不等式构造函数，转化为利用构造函数的性质来完成，其一般思路是： “课时验收评价”见“课时验收评价（二十一）” (单击进入电子文档) 31 谢 谢 观 看 32 第2课时　题型细研(1)——不等式的证明 [考法精研] [例1]　(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－ln x有相同的最小值． (1)求a； (2)证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． [解]　(1)f(x)＝ex－ax的定义域为R，而f′(x)＝ex－a， 若a≤0，则f′(x)>0，此时f(x)无最小值，故a>0. 当x<ln a时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，ln a)上为减函数， 当x>ln a时，f′(x)>0，故f(x)在(ln a，＋∞)上为增函数， 故f(x)min＝f(ln a)＝a－aln a. g(x)＝ax－ln x的定义域为(0，＋∞)，而g′(x)＝a－＝. 当0<x<时，g′(x)<0，故g(x)在上为减函数， 当x>时，g′(x)>0，故g(x)在上为增函数， 故g(x)min＝g＝1－ln. 因为f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－ln x有相同的最小值， 故1－ln＝a－aln a，整理得到＝ln a，其中a>0， 设g(a)＝－ln a，a>0， 则g′(a)＝－＝≤0， 故g(a)为(0，＋∞)上的减函数，而g(1)＝0， 故g(a)＝0的唯一解为a＝1， 综上，a＝1. (2)证明：由(1)可得f(x)＝ex－x和g(x)＝x－ln x的最小值为1. 当b≤1时，由(1)知直线y＝b与曲线y＝f(x)、y＝g(x)最多有两个不同的交点，则b>1. 当直线y＝b与曲线y＝f(x)、y＝g(x)共有三个不同的交点时，设三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3， 则f(x1)＝f(x2)＝g(x2)＝g(x3)＝b， 因为f(x)＝ex－x，g(x)＝x－ln x＝eln x－ln x＝f(ln x)， 所以f(x1)＝f(x2)＝f(ln x2)＝f(ln x3)， 由于x2≠x1，x2≠ln x2， 所以x2＝ln x3，x1＝ln x2， 则f(ln x2)＝eln x2－ln x2＝x2－ln x2＝x2－x1＝b， f(ln x3)＝eln x3－ln x3＝x3－ln x3＝x3－x2＝b， 上述两式相减得x1＋x3＝2x2， 即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． [例2]　(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x(1－ln x)．　 (1)讨论f(x)的单调性． (2)设a，b为两个不相等的正数，且bln a－aln b＝a－b，证明：2<＋<e. [解题观摩]　(1)f(x)＝x(1－ln x)，x∈(0，＋∞)， 则f′(x)＝1－ln x－1＝－ln x， 当x∈(0,1)时，f′(x)>0， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0. 故f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． (2)证明：由bln a－aln b＝a－b可得－ln ＝－ln，即＝，令x1＝，x2＝(x1≠x2). 不妨设x2>x1>0，则f(x1)＝f(x2)，又f(e)＝0，由(1)可得0<x1<1<x2<e.则原问题等价于已知正实数x1，x2满足f(x1)＝f(x2)，证明2<x1＋x2<e. 设F(x)＝f(2－x)－f(x)(0<x<1)， F′(x)＝－f′(2－x)－f′(x)＝ln(2－x)＋ln x＝ln(－x2＋2x)<0，则F(x)在(0,1)上单调递减， 则当0<x<1时，F(x)＝f(2－x)－f(x)>0， 则f(2－x1)>f(x1)＝f(x2)， 由于2－x1>1，x2>1，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，　 则2－x1<x2，所以x1＋x2>2. 再证x1＋x2<e. 法一：比值换元 设＝t，则t>1，x2＝tx1，　 由f(x1)＝f(x2)得x1(1－ln x1)＝tx1[1－ln(tx1)]， 化简可得ln x1＝1－， 要证x1＋x2<e，即证(1＋t)x1<e， 即证ln(1＋t)＋ln x1<1， 即证ln(1＋t)＋1－<1， 即证<. 令g(t)＝(t>1)， 则g′(t)＝，令φ(t)＝1－－ln t(t>1)，则φ′(t)＝<0，故φ(t)<0，则g′(t)<0，g(t)在(1，＋∞)上单调递减，则g(t＋1)<g(t)，则<，则x1＋x2<e. 法二：放缩法 因为0<x1<1，所以1－ln x1